Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями | страница 12

qm = pq + 2pq² + 3pq³ + ...

Вычитая второе выражение из первого, находим

m − qm = p + pq + pq² + ...

или

m(1 − q) = 1,    mp = 1,    m = 1/p.

В нашем примере p = 1/6, так что m = 6.

Предыдущие вычисления были проведены подробно, так как геометрическое распределение часто встречается в этой книге. Красивый способ решения этой задачи дается следующим рассуждением: если первое испытание закончилось неудачей, то условное среднее число испытаний равно 1 + m, а если первое испытание закончилось успехом, то условное среднее число испытаний равно 1. Поэтому

n = p·1 + q(1 + m) = 1 + qm     и     m = 1/p.

Когда мы бросаем монету на стол, то некоторые области положения центра тяжести монеты вероятнее других, но если квадрат достаточно мал, можно считать, что распределение вероятностей равномерно. Это означает, что вероятность попадания центра в какую-либо область квадрата пропорциональна площади этой области; она равна площади области, деленной на площадь квадрата. Так как радиус монеты равен 3/8 дюйма, то для выигрыша игрока центр не должен находиться ближе, чем 3/8 дюйма от сторон квадрата (рис. 3). Этому ограничению отвечает квадрат со стороной 1/4 дюйма, внутри которого должен лежать центр монеты. Так как вероятности пропорциональны площадям, то вероятность выигрыша равна (1/4)² = 1/16. Разумеется, монета вообще может не попасть на стол, и вероятность вы выигрыша на самом деле еще меньше. Квадраты также могут быть уменьшены за счет утолщения разделяющих линий. Если эти линии имеют толщину и 1/16 дюйма, то выигрышной области соответствует вероятность (3/16)² = 9/236, или меньше 1/28.

Рис. 3. Заштрихованная область отвечает случаю, когда игрок выигрывает.

Подсчитаем ущерб, возникающий в следующих случаях: (а) номера всех трех костей различны, (б) имеются ровно два одинаковых номера и (в) все три номера одинаковы. Предположим для простоты, что на каждый номер поставлена единичная ставка. Пусть для начала выпало три различных номера, скажем, 1, 2 и 3. Тогда игорный дом получает три единичные ставки на выигравших номерах 4, 5, 6 и расплачивается ими за три проигравших номера: 1, 2, 3. В этом случае нет ни выигравших, ни проигравших. Ясно, что так будет всегда, когда выпадают три различных номера.

Предположим теперь, что после подбрасывания костей выпало ровно два одинаковых номера, например, 1, 1 и 2. В этом случае игорный дом может использовать ставки, поставленные на номера 3 и 4, как расплату с номером 1, а ставку с номера 5 уплатить номеру 2. Деньги же, поставленные на нономер 6, таким образом, остаются игорному дому. Итак, игорный дом в этом случае выигрывает одну ставку, а игрок ее теряет, так что при единичной ставке ущерб последнего равен 1/6.