означает чемпиона,
F — отца,
W и
L — выигрыш и проигрыш сына. Пусть, далее,
f есть вероятность того, что сын выиграет у отца, а
c — вероятность того, что он выиграет у чемпиона. Считается, что выигрыши сына независимы. В следующей ниже таблице приводятся возможные результаты и их вероятности.
| Схема FCF | Схема CFC |
| F | C | F | Вероятности | C | F | C | Вероятности |
| W | W | W | fcf | W | W | W | cfc |
| W | W | L | fc(1 − f) | W | W | L | cf(1 − c) |
| L | W | W | (1 − f)cf | L | W | W | (1 − c)cf |
| Общая вероятность выигрыша | fc(2 − f) | Общая вероятность выигрыша | fc(2 − c) |
Так как отец играет хуже чемпиона, f > c и (2 − f) < (2 − c), так что сыну нужно выбрать вариант CFC. Например, если f = 0.8, c = 0.4, то вероятность получить приз при схеме FCF равна 0.384, а при схеме CFC — 0.512. Таким образом, бо́льшая вероятность выигрыша второй партии перевешивает невыгоды игры два раза с чемпионом.
Многие предполагают, что чем больше математическое ожидание числа успехов, тем больше вероятность выиграть приз, и часто такой подход бывает правильным. Но в данной задаче есть условия, нарушающие такие рассуждения по аналогии.
Среднее число выигрышей по схеме CFC равно 2c + f, и оно меньше, чем среднее число побед для схемы FCF, 2f + c. В нашем числовом примере при f = 0.8 и c = 0.4 эти средние равны, соответственно, 2 и 1.6. Такое «противоречие» придает задаче специальный интерес.
3. Решение задачи о легкомысленном члене жюри
Оба типа жюри имеют одинаковую вероятность вынести правильное решение. В самом деле, два серьезных члена жюри будут голосовать за справедливое решение с вероятностью p·p = p², при этом результат голосования третьего члена жюри не существен. Если же эти судьи расходятся во мнениях, вероятность чего равна p(1 − p) + (1 − p)p = 2p(1 − p), то для нахождения вероятности правильного решения это число надо умножить на ½. Таким образом, полная вероятность вынесения справедливого решения жюри из трех человек равна p² + p(1 − p) = p, что совпадает с соответствующей вероятностью для жюри из одного человека.
4. Решение задачи об испытаниях до первого успеха
Кажется ясным, что ответ должен быть 6. Чтобы это проверить, обозначим через p вероятность появления шестерки. Тогда вероятности первого успеха при данном испытании равны (q = 1 − p):
| Испытания | 1 | 2 | 3... |
| Вероятность первого успеха | p | pq | pq² ... |
Сумма вероятностей равна
p + pq + pq² + ... = p(1 + q + q² + ...) = p/(1 − q) = p/p = 1.
Среднее число испытаний m до первого успеха по определению равно
m = p + 2pq + 3pq² + 4pq³ + ...
Для нахождения суммы такого ряда применим обычный прием суммирования геометрических рядов
