Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия | страница 112

2) Накопление знаний. Научные достижения XVII века значительны и многообразны: к ним следует отнести законы Кеплера, открытие кометы Галлея, закон Гука, открытие Гарвеем системы кровообращения, открытия Бойля в области химии и его закон для идеальных газов.

3) Достижения в области математики. Была изобретена декартова система координат. Графики связали алгебру с геометрией, с одной стороны, сводя геометрические формы и преобразования к сжатым алгебраическим выражениям, а с другой — позволяя наглядно представлять алгебраические уравнения.

На графике I фиг. 98 изображена проходящая через начало координат прямая линия, на которой нанесены точки (x_>1, y_>1), (x_>2, y_>2)…. Из подобия треугольников следует, что отношения y_>1/x_>1, y_>2/x_>2…. равны между собой, т. е. одинаковы для любой точки на прямой. Обозначим эту постоянную k. Тогда каждая точка на прямой будет представлена парой значений (например, x_>1, y_>1), удовлетворяющих соотношению у/х = k или у = kх. Это и есть алгебраическое описание графика, а прямая представляет собой геометрический образ данного соотношения. Если у и х — результаты физических измерений (например, s и t^>2 для падающего тела), то прямая линия выражает соотношение y = (const)x, или у ~ х, а наклон прямой определяет постоянную.

Фиг. 98.Графики в декартовой системе координат.

График II иллюстрирует уравнение у = kх + с. В этом случае мы не можем сказать, что у ~ х, но можем сказать, что Δу ~ Δх.

На графике III изображена окружность, причем

для точки P_>1

x^>2_>1 + у^>2_>1 = R^>2

для точки P_>2

x^>2_>2 + у^>2_>2 = R^>2

таким образом, уравнение этой окружности имеет вид

x^>2+ у^>2= R^>2

Его можно переписать так:

x^>2/R^>2 + y^>2/R^>2 = 1

Эллипс можно получить равномерным растяжением окружности.

Нарисуйте окружность на листе резины и растяните этот лист (фиг. 99).

Фиг. 99.Растяжение окружности в эллипс.

Радиус R превратится в полуоси а и b. Окружность в соответствии о уравнением x^>2/R^>2 + y^>2/R^>2 = 1 и с площадью круга πR^>2 = π∙R∙R превратится в эллипс, описываемый уравнением…?.. = 1 и площадью =?

Таким образом, с помощью декартовой геометрии эллиптические орбиты можно записать в виде алгебраических уравнений.

Возникли две серьезные математические проблемы, связанные с вычислениями: определение угла наклона касательных к кривым и площадей под кривыми с помощью математики, т. е. создание методов дифференцирования и интегрирования. Тангенс угла наклона касательной определяет скорость изменения функции. Вычисления сводятся просто к нахождению скорости изменения функции в некоторой точке. Это позволяет нам вычислять