«Никто не может служить двум хозяевам разом: если евклидова геометрия истинна, нужно вычеркнуть неевклидову геометрию из списка наук и поставить ее в ряд с алхимией и астрологией».
Позиция ретрограда помешала ему понять, что для Гильберта аксиомы — всего лишь абстрактные схемы, сформулированные с практической целью как начала математической теории.
Недовольство Фреге возросло, когда тот прочитал, что Гильберт готов называть «точками», «прямыми» и «плоскостями» любые три произвольных множества, которые удовлетворяли его аксиомам, пусть даже это будут столы, стулья и пивные кружки. Фреге считал, что аксиомы касаются реальных вещей и, следовательно, едва ли у них может быть более одной интерпретации. Гильберт парировал в ответном письме:
«Каждая теория — всего лишь набор понятий и некоторых связывающих их отношений, ее базовые элементы могут быть произвольными. Если под точками и прочим я понимаю любую систему вещей, например систему, образованную любовью, законом, щеткой для чистки труб и так далее, и сочту, что для этих вещей все мои аксиомы справедливы, то справедливыми для этих вещей окажутся и мои теоремы, как, например, теорема Пифагора. Другими словами, каждая теория может быть применена к бесконечному числу систем базовых элементов».
Когда Фреге опубликовал пару крупных статей, в которых назвал его шарлатаном, через Алвина Корсельта (1864-1947), Гильберт ответил: «Мы можем озаглавить ее как «пустая и бессмысленная игра знаков» или как-то в этом духе; но как законной связи между пропозициями ей не нужно никакое другое специальное название».
Любопытно, что употребление терминов в аксиомах смутило и Анри Пуанкаре. Французский математик подключился к критике Гильберта, поскольку ему были неприятны те, кто стремился свести математику к чистым формальным отношениям символов. Он написал подробную рецензию, обвинив немца в мошенничестве, поскольку аксиоматический метод не является созидательным. Этот неоригинальный концептуализирующий инструмент маскирует или прячет то, что должен аксиоматизировать. По мнению Пуанкаре, в «Основаниях геометрии» всегда подразумевается евклидова геометрия, хотя Гильберт это и отрицал. Пусть его аксиоматика и претендует на то, чтобы представлять собой ряд скрытых определений, она происходит из уже существующей теории и ограничивается лишь ее реорганизацией. Французский титан вновь потеснил немецкого титана.
Фреге не понял интереса Гильберта к аксиоме полноты линии, или непрерывности прямой, в которой постулируется, что не существует другой большей системы объектов, которая также выполняла бы аксиомы. Философ заявил математику, что это похоже на теологическое заключение на основе аксиомы, которая гласила бы: «Аксиома 3. Существует по крайней мере один Бог». По иронии судьбы Гильберта уже во второй раз обвинили в тяготении к теологии. Однако он был не теологом, а скорее мистиком, поскольку предугадывал будущее математики.
