...И мир загадочный за занавесом цифр. Цифровая связь | страница 12

_>2 (число единиц третьего разряда, т. е. сотен) и т. д. могут принимать значения, не превышающие основания системы: от 0 до 9. Эти коэффициенты можно получить формальным нулем как остатки от последовательного деления числа М на основание системы, т. е. на 10:

Цифры, полученные в остатке и последнем результате деления (они выделены синим цветом), и дают искомое изображение числа в десятичной позиционной системе счисления. Такая формальная процедура, лишенная, вообще говоря, смысла для десятичной системы, незаменима, как мы увидим, для систем с другими основаниями.

Примером непозиционной системы счисления является римская нумерация. Так, в числе II единица в левой позиции имеет "вес", равный 1, а такая же единица в числе IX — "вес", равный минус 1. В числе XXXV (35) цифра X во всех позициях означает одно и то же — 10 единиц.

Основное преимущество позиционных систем счисления — удобство записи чисел и выполнения арифметических операций. Об этом мы узнаём с первого класса школы: сложение и умножение — "столбиком", деление — "углом" (для сравнения попробуйте перемножить римские числа…). По-видимому, в этом и заключена одна из основных причин того, что наша система счисления, будучи позиционной, завоевала столь прочные позиции.

Однако наблюдательный читатель может возразить: ведь две из древних систем счисления — двадцатеричная индейцев-майя и шестидесятеричная древних вавилонян — являются практически совершенными позиционными системами.

Вы правы, читатель. У вавилонян и индейцев-майя существовал позиционный принцип записи чисел. Напомним, что в арифметике майя одно и то же число, записанное в первом и во втором разрядах, отличалось одно от другого в 20 раз (т. е. в число раз, равное основанию системы); у вавилонян же прямой "клин" мог означать и 1, и числа, кратные 60, а одинаковые числа, помещенные в разные разряды, отличались в 60, 60^>2,60^>3 и т. п. число раз.

Более того, в 1665 г. французский математик Б. Паскаль показал, что за основание системы счисления можно принять любое число, а это значит, что каждое число можно представлять в виде комбинации степеней не числа 10, а какого-либо другого целого числа. Выберем, например, число 7:

М = а_>n∙7^>n + а_>n-1∙7^>n-1 + а_>1∙7 + a_>0

Ясно, что значения коэффициентов а_>0а_>1….,a_>n должны теперь быть не больше нового основания, т. е. 7: они могут принимать значения от 0 до 6.

Представим число 777 в семеричной системе, используя принцип последовательного деления его на основание этой системы: