Темная сторона материи. Дирак. Антивещество | страница 33

Дирак сформулировал свою функцию в следующем виде:

δ(x) = 0, если x ≠ 0;

+∞

∫δ(x)dx = 1,

-∞

и затем утверждал:

«Конечно, δ(x) не является собственно функцией числа х, но она может рассматриваться как предел последовательности ряда функций. Как бы там ни было, δ(x) может использоваться как собственно функция в практических целях разрешения любой проблемы квантовой теории, и полученные результаты никогда не будут ошибочными».

Работа Дирака в очередной раз показалась коллегам восхитительной, но он не первым пришел к подобному выводу. Йордан изучал ту же проблему и разработал собственную теорию преобразований. И если путь двух физиков был разным, выводы их совершенно совпадали. Через два месяца после публикации работ Дирака и Йордана Гейзенберг сформулировал принцип неопределенности, математическая формулировка которого основывалась большей частью на теории Дирака — Йордана. Дирак сформулировал в своей работе идею, близкую к принципу неопределенности Гейзенберга:

Дирак не первым использовал функцию δ, но он обобщил ее применение, превратив ее в главный инструмент развития квантовой теории. Функция δ(x) не является математической функцией в обычном смысле слова, это не функция, которая имеет определенные значения в каждой своей точке. Напротив, она принимает значение 0 при всех значениях х, кроме точки, где х = 0 и где она превращается в бесконечность. Дирак называл ее «несвойственной функцией», чтобы отличить от обычных функций и показать, что ее использование должно ограничиваться определенным типом проблем, с которыми она совместима. Физик заметил, что его несвойственная функция при х=0 не имеет четко определяемого значения, поскольку она появляется как часть интегрирования, результат которого является прекрасно определяемой величиной. Строгий анализ функции δ(x) представлен в теории распределений, развитой в 1945 году математиком Лораном Шварцем (1915-2002). Поведение функции δ(χ) показано на рисунке 1, где видно, что она равна нулю на всем интервале величин х за исключением маленькой окрестности δ(χ) в самом начале. В представленном интервале максимум функции равен 1/ε. Следовательно, функция

РИС. 1

охватываемой окрестности равна 1. Функция δ(x) появляется как предел функции, представленной на рисунке, когда величина параметра ε стремится к 0 (ε → 0). Множество других функций могут образовывать функцию δ(x). Например, ширина знаменитой гауссовой функции, представленной на рисунке 2, определяется коэффициентом σ. Если величина этого параметра уменьшается, функция сужается все больше и больше, значительно увеличивая свое максимальное значение. Для предела, в котором ширина стремится к нулю, максимальная величина стремится к бесконечности. Математически это выражается следующим образом: