Рассмотрим кратко некоторые основные аспекты новой теории Дирака. В рамках матричной механики Гейзенберга, Борна и Йордана утверждается использование канонических преобразований. «Каноническим преобразованием» называют любое преобразование, сохраняющее основные количественные отношения. Возьмем, например, случай с двумя квантовыми операторами, связанными с положением (q) и моментом (р), для которых qp -pq = iħI, где I является матрицей тождественного оператора. Каноническое преобразование заключается в определении оператора преобразования, который позволяет выстроить две новые динамические квантовые переменные (Р, Q), продолжающие соблюдать отношение квантования PQ - QP = iħI. Отношение между изначальными переменными и новыми выражается следующим образом:
Р=ТрТ>-1, Q = TqT>-1
где Т является оператором преобразования, а T>-1 — его обратной величиной, то есть TT>-1 = T>-1T = I. Использование канонических преобразований подтверждается в процессе диагонализации гамильтониана, который позволяет определить энергии рассматриваемой системы.
Главной целью Дирака было определение «реального» значения оператора преобразования и его отношения к волновой функции Шрёдингера. Дирак заключил, что собственные функции волнового уравнения Шрёдингера соответствуют операторам преобразования, которые позволяют получить диагональный вид гамильтониана. Так физик соединил в одно целое формализм квантовых операторов Гейзенберга, Борна и Йордана и их правила квантования и формализм Шрёдингера с его дифференциальным уравнением и его волновой функцией. Теория преобразований вводила, кроме того, свойства и принципы, которые Дирак считал главными в любой квантовой теории. Эти свойства стали точкой отсчета значительной части его последующих работ.
Величие научной идеи зиждется на ее способности поощрять мысль и открывать новые направления для исследования.
Поль Дирак
В ходе разработки теории преобразований Дирак ввел новую важную переменную, которая со временем стала полезным инструментом развития современной физики, — функцию δ. Язык современной физики невозможно понять без ее использования. В наши дни любой текст по квантовой теории содержит специальные разделы, посвященные функции Дирака и ее главным свойствам, она участвует в решениях всех проблем, относящихся к субатомному миру. В статье «Физическая интерпретация квантовой динамики» Дирак писал о введении функции δ:
«Мы не можем двигаться вперед в развитии матричной теории с вереницей строк и столбцов, не введя для этого функцию с-числа, называемого х, которая равна нулю во всех точках — кроме точки, где x крайне мало, — и интеграл которой в любой окрестности x = 0 равен 1».
