Математический аппарат инженера | страница 23
- 27 -
б) Запишите множества A>k (k = 0,1, ... , 9) элементов каждой из десяти цифр ( например, A>7 = {a, c, f}). Имеются ли среди них непересекающиеся множества?
в) Запишите для каждого из элементов s ( s = a, b, ... , i) множество B>s, состоящее из цифр, в написании которых используется элемент s (например, B>f = {0, 6, 7, 8}). Какие элементы используются наиболее редко и наиболее часто?
Рис. 4. Круги Эйлера к задаче 12.
г) Считая мерой близости цифр количество общих элементов, укажите цифры, наименее и наиболее близкие цифре 3. Какой операции над множествами A>k соответствует множество, определяющее меру близости цифр?
14. В химическом продукте могут оказаться примеси четырех видов, обозначенных через a, b, c, d. Приняв в качестве исходного множества A = {a, b, c, d}, образуйте множество всех его подмножеств Р(А). Дайте содержательное истолкование этого множества и его элементов. Каким ситуациям соответствуют, в частности, несобственные подмножества?
Рис. 5. Начертание цифр почтового индекса:
а- элементы исходного множества; б — цифры.
15. Докажите, что для конечного множества, состоящего из n элементов, множество всех его подмножеств содержит 2>n элементов.
16. Проверьте свойство транзитивности отношения включения на примере множеств X = {b, c}, Y = {a, b, c}, Z = {b}.
17. Дайте словесное описание каждому из следующих множеств:
а) {x|x — точка плоскости, находящаяся на расстоянии r от начала координат};
б) {x|x>2 — 4x + 3 = 0};
в) {x|x — инженер нашего отдела};
г) {x|x ∈ A и z ∈ B }; A — множество транзисторов; В — множество деталей радиоприемника;
д) {x ∈ R |x = 3k, k ∈ N} N — множество натуральных чисел;
е) {x>2 + 1 |x - целое число}
18. Покажите, что для любых множеств А и В справедливо соотношение ∅ ⊂ A ∩ B ⊂ A ∪ B
19. Покажите, что для любого множества А справедливы соотношения: A + A = ∅; A + ∅ = A.
20. Покажите, что из соотношения A ∩ B = C следует C ⊂ A и C ⊂ B.
21. Пусть M>1 и M>2 — соответственно множества деталей первого и второго механизмов, а Р — множество пластмассовых деталей. Запишите в виде теоретико-множественных соотношений следующие условия.
- 28 -
а) Среди деталей первого механизма имеются все пластмассовые детали.
б) Одинаковые детали, входящие в оба механизма, могут быть только пластмассовыми.
в) Во втором механизме нет пластмассовых деталей.
22. Является ли совокупность полученных в предыдущей задаче соотношений (Р ⊂ M>1, M>1 ∩ M>2 ⊂ P, M>2 ∩ P = ∅) непротиворечивой? Если да, то можно ли ее упростить? Для ответа на поставленные вопросы проведите сначала логические рассуждения, а затем воспользуйтесь кругами Эйлера. Сформулируйте выводы, соответствующие полученному результату.
