образов 10
>183 = 10
>37 *10
>37 * 10
>37). Поэтому, хотя множество всех образов конечно и любой из них можно легко определить, о задании подобных множеств перечислением их элементов не может быть и речи.
Определяющее свойство. Другой способ задания множества состоит в описании элементов определяющим свойством Р(х) (формой от х), общим для всех элементов. Обычно Р(х) — это высказывание, в котором что-то утверждается об х, или некоторая функция
- 23 -
переменной х. Если при замене х на а высказывание Р(а) становится истинным или функция в заданной области определения удовлетворяется, то а есть элемент данного множества. Множество, заданное с помощью формы Р(х), обозначается как Х={х | Р(х)}, или Х={х :Р(х)}, причем а {х | Р(х)}, если Р(а) истинно. Например {х | х>2 = 2} - множество чисел, квадрат которых равен двум, {х | х есть животное с хоботом} - множество слонов.
Обычно уже в самом определении конкретного множества явно или неявно ограничивается совокупность допустимых объектов. Так, множество слонов следует искать среди млекопитающих, а не среди рыб и тем более не среди планет. Если речь идет о множестве чисел, делящихся на 3, то ясно, что оно является подмножеством целых чисел. Удобно совокупность допустимых объектов зафиксировать явным образом и считать, что рассматриваемые множества являются подмножествами этой совокупности. Ее называют основным множеством (универсумом) и обычно обозначают через U. Так, универсумом арифметики служат числа, зоологии - мир животных, лингвистики - слова и т.п.
Если множество выделяется из множества A с помощью формы Р(х), то запись {х | х ∈ А, Р(х)} часто упрощается: {х ∈ А | Р(х)}. Запись {f(х) | Р(х)} означает множество всех таких у=f(х), для которых имеется х, обладающий свойством Р(х). Например, {х>2 | х - простое число} означает множество квадратов простых чисел.
7. Операции над множествами. Множества можно определять также при помощи операций над некоторыми другими множествами. Пусть имеются два множества A и B.
Объединение (сумма) А ∪ В есть множество всех элементов, принадлежащих A или В. Например, {1, 2, 3} ∪ (2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}.
Пересечение (произведение) А ∩ В есть множество всех элементов, принадлежащих одновременно как A, так и В. Например, {1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4} = {2, 3}. Множества, не имеющие общих элементов (A ∩ В = ∅), называют непересекающимися (расчлененными).
Разность А \ В (или A - В) есть множество, состоящее из всех элементов A, не входящих в В, например, {1, 2, 3} \ {2, 3, 4} = {1}. Ее можно рассматривать как относительное дополнение В до A. Если A ⊂ U, то множество U \ A называется абсолютным дополнением (или просто дополнением) множества A и обозначается через A̅. Оно содержит все элементы универсума U, кроме элементов множества A. Дополнение A определяется отрицанием свойства Р(х), с помощью которого определяется A. Очевидно, А \ В = A ∩ В̅.
