объемах производства. Дальнейшее тонет во мраке времен. Уступил ли шах мудрецу свою державу, коря себя за пренебрежение арифметикой, или предпочел сыграть в новую игру «визирьмат», осталось неведомым.
Возможно, история изобретения персидских шахмат – всего лишь сказка. Но древние персы и индийцы действительно совершили немало блистательных открытий в математике и хорошо представляли, какие результаты дает последовательное удвоение. Если бы шахматные партии разыгрывались на доске с сотней клеток (10 × 10), шах задолжал бы визирю пшеницу общим весом, равным весу Земли. Числовая последовательность, в которой каждое следующее число является результатом умножения предыдущего на фиксированную величину, называется геометрической прогрессией, а соответствующий процесс увеличения итога – экспоненциальным ростом.
Геометрические прогрессии встречаются во всех важных сферах жизни, обыденных и экзотических. Для примера рассмотрим сложный процент. Если бы ваш предок 200 лет назад, вскоре после Войны за независимость, положил в банк $10 под 5 % годовых, то на счете уже было бы $10 × 1,05>200, или $172 925,81. (Чтобы узнать, сколько будет 1,05>200, нужно попросту умножить число 1,05 само на себя 200 раз.) Жаль, что немногие предки так заботятся о благосостоянии отдаленных потомков, да и $10 – в те времена солидная сумма – нашлись бы не у каждого. Если бы ваш щедрый пращур разместил вклад под 6 % годовых, вы бы унаследовали больше миллиона, под 7 % – больше $7,5 млн. Фантастические 10 % годовых принесли бы вам кругленькую сумму – $1,9 млрд.
Аналогично «работает» инфляция. При уровне инфляции 5 % в год доллар через год будет стоить $0,95, через два года (0,95)² = $0,91, через 10 лет «похудеет» до $0,61, через 20 – до $0,37 и т. д. Это самым непосредственным образом касается пенсионеров, годовые выплаты которым являются фиксированными и не индексируются с учетом инфляции.
Многократное удвоение и, следовательно, экспоненциальный рост – характерная особенность воспроизводства биологических организмов. Начнем с простого примера – бактерии, размножающейся делением. Через положенное время каждая из двух дочерних бактерий также делится надвое. При достаточном количестве пищи и отсутствии ядов в среде обитания колония бактерий растет в геометрической прогрессии. В самых благоприятных условиях удвоение их численности происходит примерно каждые 15 минут: четыре удвоения в час, 96 в сутки. Одна бактерия весит около одной триллионной доли грамма, но всего через сутки безудержного размножения ее потомки сравняются весом с горой, через каких-нибудь полтора дня – с Землей, а через двое суток перетянут на весах Солнце… Пройдет еще немного времени, и вся Вселенная будет заполнена бактериями. Перспективы не слишком радужные, но, к счастью, несбыточные. Почему? Потому что подобный экспоненциальный рост неизбежно упирается в тот или иной естественный барьер. Букашки, например, съедают всю пищу, отравляют друг друга или перестают спариваться, когда их слишком много. Экспоненциальный рост не может продолжаться вечно, иначе он поглотил бы все, но задолго до этого в игру вступает сдерживающий фактор. Экспоненциальная кривая выходит на плато (см. рисунок).
