Трудились над ней и другие математики. Но словно в насмешку число парадоксов не только не уменьшилось, но даже возросло.
Среди этих парадоксов особый интерес представляет так называемый «парадокс Сколема», который состоит в том, что при определенных обстоятельствах можно несчетное множество отобразить в счетное множество. Этот парадокс наводит на весьма интересную мысль: понятия счетности и несчетности, быть может, носят относительный характер.
Третий кризис оснований математики оказался необычайно глубоким. Он не преодолен до конца и сегодня, хотя, после того как прошел первый шок, над поисками выхода из создавшейся критической ситуации задумывались многие выдающиеся умы.
Чтобы лучше оценить случившееся, попробуем представить себе обсуждение этой волнующей проблемы математиками различных направлений.
Первый математик: Я надеюсь, все со мной согласятся, что состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо.
Второй математик: Еще бы! Подумайте только: в математике, этом образце достоверности и истинности, образование понятий и ход умозаключений приводит к нелепостям. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?
Третий математик: Что произошло бы с истинностью наших знаний, если бы даже в математике не стало достоверной истины?
Первый математик: На мой взгляд, в традиционном понимании математики и логики нет решительно ничего, что могло бы послужить основой для устранения парадокса Рассела. Это надо уяснить с самого начала. Я убежден, что любые попытки выйти из положения с помощью традиционных способов мышления, имевших хождение до XX столетия, заведомо недостаточны и обречены на провал.
Второй математик: Мне думается, что все дело в проблеме существования. Как в самом деле выяснить, существует ли то или иное бесконечное множество с заданными свойствами? Ведь мы в принципе не можем перебрать все его элементы. Необходим какой-то критерий.
Первый математик: Какой же?
Второй математик: Я думаю, наиболее целесообразно считать существующим то, что внутренне непротиворечиво. Помните, как у Гегеля: все разумное действительно.
Третий математик; А на мой взгляд, существующим следует признавать только то, что можно сконструировать, построить. Разумеется, хотя бы в принципе.
Первый математик: А все остальное?
Третий математик: Все остальное следует из математики исключить, безжалостно изгнать как нечто лишенное смысла. Разумеется, нельзя полностью исключить из математики бесконечность, но вполне возможно уничтожить ее актуальный характер.
