— Надо ли в таком случае понимать, что бесконечность на самом деле не существует? — не унимался вопрошающий.
— В самой природе нет бесконечного, — убежденно отмечал Аристотель. — Бесконечность — абстракция, которую математик применяет, познавая действительность. Но в то же время математические принципы — выше нашего опыта, и опыт не может вносить в них какие бы то ни было изменения.
Аристотель рассматривал бесконечность как процесс, состоящий из последовательных шагов, где за каждым очередным шагом имеется следующий и пет последнего. Например: бесконечная последовательность натуральных чисел, которую можно получить путем последовательного прибавления единицы. Подобную бесконечность Аристотель называл потенциальной, которую он понимал, следовательно, как осуществимость сколь угодно большого, по конечного числа объектов.
Актуальная же бесконечность предполагает возможность завершения бесконечного процесса. Другими словами, актуально бесконечное множество является завершенным объектом — «ставшим».
Аристотель утверждал, что математики вполне могут обойтись потенциальной бесконечностью. Актуальную бесконечность следует отбросить как ненужную.
Будучи одним из величайших мыслителей Древней Греции, достигшим высот теоретической мысли, Аристотель в то же время проводил непроходимую грань между прикладными задачами и научной теорией. В частности, он утверждал, что математика должна заниматься только чисто теоретическими операциями, а реальные вещи ее совершенно не должны интересовать.
Впрочем, такую же позицию занимали и другие древнегреческие мыслители. Например, в знаменитых «Началах» Эвклида, которые и по сей день считаются фундаментом геометрии, мы не найдем ни одного примера вычисления площади какой-либо реальной поверхности.
Архимед был первым среди древнегреческих ученых, кто применил теоретические знаний, в частности понятие бесконечности для решения практических задач. Он первым вычислил площадь круга как предел площади, вписанного в окружность правильного многоугольника, когда число его сторон неограниченно возрастает, то есть стремится к бесконечности.
В дальнейшем Архимед усовершенствовал свой метод, использовав его не только для вычислений, но и для исследования свойств различных фигур и тел. Он разлагал любое тело (например, шар или конус) на чрезвычайно тонкие кружки, доказывал то или иное утверждение для одного из этих кружков и отсюда делал вывод, что подобным же свойством обладает и все тело.
