Физике становится тепло. Лорд Кельвин. Классическая термодинамика | страница 76
∂τ(x,t)/∂t = κ · ∂>2τ(x,t)/∂x>2,
где κ — термодиффузия. Томсон предложил в качестве решения этого уравнения функцию
Здесь ν>0 = (T>0 + Т>среда)/2, а V = (Т>0 - Т>среда)/2. Простой расчет позволяет проверить, что это решение действительно удовлетворяет дифференциальному уравнению. Кроме того, видно, что при начальном состоянии, t = 0, все внутренние точки земного объема (то есть при х > 0, справа от земной поверхности на рисунке) имеют температуру T>0, а все внешние относительно Земли точки (то есть при х < 0, слева от земной поверхности на рисунке) имеют температуру Т>среда. Таким образом, можно вычислить температурный градиент, γ(x, t), в любой точке, то есть коэффициент изменения температуры в этой точке на единицу длины, перпендикулярной плоскости поверхности, который будет равен
а на земной поверхности, то есть для х = 0, он равен
γ(0,t) = V/√(πκt)
Если выделить t в этом уравнении и учитывать, что поскольку T>0 (порядка нескольких тысяч °С) намного больше T>среда (порядка нескольких десятков °С), V ~ Т>0, то получается
Теперь достаточно подставить значения, указанные в тексте (κ = 10->6 м>2 с>-1, T>0 = 4000 °С и γ(0, t) = 35 °С/км), чтобы получить для t 130 миллионов лет, предложенные Томсоном.
На самом деле Томсон определил диапазон от нескольких десятков до нескольких сотен миллионов лет, поскольку учел возможные погрешности экспериментальных данных, использованных для расчета. Через некоторое время он пересмотрел свои вычисления и свел оценку к 20 миллионам лет.
Томсон доверял своей оценке возраста Земли в свете другого результата, который он сам получил немного ранее. Это очень важно для науки, поскольку если один и тот же результат можно найти двумя различными способами, не связанными между собой, достоверность этого результата растет. Воспроизводимость научных результатов - один из столпов, на которых основывается наука, и обязательный элемент ее развития.
Томсон изучал происхождение тепла, испускаемого Солнцем, и предположил, что время, в течение которого оно освещает Землю, и возраст нашей планеты должны быть одного и того же порядка. В соответствии с данными, доступными к 1850 году, было возможно вычислить (по крайней мере приблизительно) норму выработки тепла Солнцем. Но задача состояла в том, чтобы выяснить, обладает ли Солнце невозобновляемым источником тепла, ресурс которого истощается с момента образования светила, и, кроме того, может ли какой-то внешний процесс увеличивать этот запас тепла так, чтобы тепловая радиация могла поддерживаться в течение большего или меньшего времени.
