Мимоходом применив новый анализ функций к древней теории целых чисел, Эйлер неожиданно вычислил значения дзета-функции во всех четных точках — сиречь, суммы рядов, составленных из обратных квадратов, биквадратов и так далее. Все они рационально выразились через знаменитое число Пи: почему Природе так угодно, мы не знаем до сих пор. Оттого, например, сумма ряда обратных кубов остается неизвестной, хотя удалые числовики и физики вовсю пользуются ее приближенным значением.
Кажется, что в аналитической теории чисел Эйлер «упустил» лишь одно большое открытие: не он, а его заочный ученик и соотечественник Ламберт доказал, что число Пи иррационально! (1766). Но Эйлер заранее добровольно уступил эту честь любому охочему таланту: ему самому интереснее было открывать и решать новые проблемы там, где до него их никто не видел. Например, полузабытые открытия вдохновенного Пьера Ферма в зоопарке простых чисел. За сто лет до Эйлера тихий французский юрист предположил, что все числа вида 2>(2к) + 1 — простые. Первая пятерка примеров подтвердила гипотезу Ферма, шестой пример оказался ему не по зубам. Эйлер разобрался в этом примере и разложил число (2>32 + 1) на два простых множителя. Что дальше? С тех пор не найдено ни одного простого числа по формуле Ферма, но и не доказано, что их больше нет...
В другой гипотезе Ферма, называемой ныне его «большой теоремой», Эйлеру пришлось восстанавливать утраченное доказательство неравенства X>n + Y>n = Z>n для n = 3 и 4. Это он сделал быстро, но при n = 5 встретил неожиданное препятствие в арифметике целых комплексных чисел. И опять Эйлер оставил яркую тему для всех охочих удальцов: вы, нынешние, — ну-ка! Доказать теорему Ферма для степени 5 сумел Адриен Лежандр: в год смерти Эйлера (1783) он был избран на его место в Парижской академии наук. Полное доказательство большой теоремы Ферма появилось лишь в конце ХХ века.
Был у Эйлера еще один крестник — серьезный юноша из Турина по имени Жозеф Лагранж. В 23 года он приехал в Берлин, чтобы сообщить великому Эйлеру о своих достижениях в исчислении интегралов, особенно их минимальных и максимальных значений. Пятидесятилетний Эйлер прочел мемуары Лагранжа и пришел в восторг: вот он, мой грядущий преемник на научном троне! Он уже смыслит в вариационном исчислении столько же, сколько я в нем смыслю, и готов применять эту технику к решению крупнейших проблем небесной механики! Быть может, ему удастся доказать устойчивость Солнечной системы? Надо открыть новичку зеленую улицу — немедленно избрать его в академики, а там он, глядишь, и до президента академии дорастет. Так и случилось: в 1766 году, когда Эйлер поссорился с королем Фридрихом II и вернулся в Петербург, тактичный Лагранж стал главным математиком в Берлине. Механическую устойчивость Солнечной системы он доказал в последние годы жизни Эйлера в трактате под названием «Аналитическая механика». Сам Эйлер потратил эти годы на составление «Основ анализа» — первого учебника новой науки, адресованного не новичкам, но аспирантам, то есть кандидатам в профессора. Ведь не каждому судьба дарит счастье личного общения с Ньютоном или Лейбницем, Бернулли или Эйлером! И не каждому первопроходцу достаются такие питомцы, как Ламберт или Лагранж.
