Это объясняет, почему многие учителя предпочитают менее обременительные методики преподавания. Используя готовые факты и процедуры (ячейка 1), учителя должны просто показать связь между причиной и следствием, назвать имена и даты, проводимые операции и факты, а ученикам остается только воспроизвести все это. Учителям в этом случае относительно просто увязать преподавание с обучением, потому что знания четко структурированы, и многие ученики предпочитают именно это.[78] Преподавателям, работающим по такой методике, не обязательно глубоко разбираться в материале, а если они и обладают такими знаниями, им не приходится их «распаковывать». Итак, неопределенность под контролем, все споры – в заданном русле, а учитель менее зависим от учеников.
Между этими полюсами – ряд промежуточных вариантов. Один из них наиболее распространен в высшем образовании: знания рассматриваются как результат исследования, но их наращивание происходит методом передачи «концентрата» (ячейка 2). Учителя начальной школы иногда идут примерно тем же путем: рассматривают математику как область строгой аргументации в отношении количества и формы и уделяют особое внимание условиям задачи и доказательству результатов. Они заинтересованы в том, чтобы ученики поняли интеллектуальную структуру математики, но углубление знаний происходит в отшлифованном и сжатом виде. Вернемся к примеру обучения умножения 12 × 12. В данном случае учитель может начать объяснение следующим образом:
Умножение целых чисел – всего лишь способ объединить равные группы чисел. Значит, мы можем переформулировать задачу 12 × 12 так: как объединить двенадцать групп по двенадцать элементов в каждой? Такие задачи можно решать путем многократного сложения, но это неэффективно, если числа достаточно малы. Эффективнее будет умножать. Сложение x + x + x + x + x + x + x + x (количество раз обозначим как y), таким образом, сжимается и в письменном виде превращается в формулу x (y).
Но при умножении двузначных чисел также следует понимать, как числа выстраиваются в систему разрядов. Когда мы делаем первый шаг в решении этой задачи (умножая 2 на 12), множитель 2 относится к разряду единиц, а множимое – к разряду десятков. Следовательно, умножая 2 на 12, мы фактически производим два действия умножения: 2 × 2 и 10 × 2. На втором этапе, когда наши действия выглядят так, будто мы умножаем 1 × 12, на самом деле мы умножаем 10 на 12. В результате получаем 120. Записывая наши действия, мы опускаем ноль во второй части промежуточного произведения, но в действительности мы его учитываем. Люди условились так делать, и эта условность отражает тот факт, что при умножении двузначных чисел вторая часть произведения – всегда сотни. Последний ноль мы не записываем, но второе промежуточное произведение должно быть вписано со смещением на одну клеточку влево от первого промежуточного произведения.
