>0и имеет скорость
v>0. Это самая общая ситуация, какую только можно придумать. (Нельзя задать начального
ускорения, потому что оно зависит от свойств пружины; мы можем распорядиться только величиной
х>0.) Вычислим теперь
А и
В. Начнем с уравнения для
х=Acosw>ot+Bsinw>0t;
поскольку нам понадобится и скорость, продифференцируем х и получим
v=-w>0Asinw>0t+w>0Bcosw>0t.
Эти выражения справедливы для всех t, но у нас есть дополнительные сведения о величинах х и v при t=0. Таким образом, если положить t=0, мы должны получить слева х>0и v>0, ибо это то, во что превращаются х и v при t=0. Кроме того, мы знаем, что косинус нуля равен единице, а синус нуля равен нулю. Следовательно,
х>0=А·1+В·0=А
и
v>u=-w>0A·0+w>0B·1=w>0B.
Таким образом, в этом частном случае
А=х>0, В=v>0/w>0.
Зная А и В, мы можем, если пожелаем, найти а и D.
Итак, задача о движении осциллятора решена, но есть одна интересная вещь, которую надо проверить. Надо выяснить, сохраняется ли энергия. Если нет сил трения, то энергия должна сохраняться. Сейчас нам удобно использовать формулы
х=acos(w>ot+D) и v=-w>0asin(w>0t+D).
Давайте найдем кинетическую энергию Т и потенциальную энергию U. Потенциальная энергия в произвольный момент времени равна >1/>2kx>2, где х — смещение, a k — постоянная упругости пружинки. Подставляя вместо х написанное выше выражение, найдем
U=>1/>2kx>2=>1/>2ka>2cos>2 (w>0t+D).
Разумеется, потенциальная энергия зависит от времени; она всегда положительна, это тоже понятно: ведь потенциальная энергия — это энергия пружины, а она изменяется вместе с х. Кинетическая энергия равна >1/>2mv>2; используя выражение для v, получаем
Т = >1/>2mv>2=>1/>2mw>2>0a>2sin>2(w>0t+D).
Кинетическая энергия равна нулю при максимальном х, ибо в этом случае грузик останавливается; когда же грузик проходит положение равновесия (x=0), то кинетическая энергия достигает максимума, потому что именно тогда грузик движется быстрее всего. Изменение кинетической энергии, таким образом, противоположно изменению потенциальной энергии. Полная энергия должна быть постоянной. Действительно, если вспомнить, что k=mw>2>0, то
T+U=>1/>2mw>2>0а>2 [cos>2 (w>0t+D)+sin>2 (w>0t+D)] =>1/>2rnw>2>0a>2.
Энергия зависит от квадрата амплитуды: если увеличить амплитуду колебания вдвое, то энергия возрастет вчетверо. Средняя потенциальная энергия равна половине максимальной и, следовательно, половине полной; средняя кинетическая энергия также равна половине полной энергии.
§ 5. Колебания под действием внешней силы
