2a. Пространство. Время. Движение | страница 24

Оговорим с самого начала, что такое разделение действительных и мнимых частей возможно не всегда, а только в случае линейных уравнений, т. е. уравнений, содержащих х лишь в нулевой и первой степенях. Например, если бы уравне­ние содержало член lх^>2, то, сделав подстановку x_>r+ix_>t, мы полу­чили бы l(x_>r+ix_>i)^>2, и выделение действительной и мнимой час­тей привело бы нас к l(х^>2_>r-x^>2_>i) и 2ilx_>rx_>i. Итак, мы видим, что действительная часть уравнения содержит в этом случае член -lx^>2_>i. Мы получили совсем не то уравнение, какое собирались решать.

Попытаемся применить наш метод к уже решенной задаче о вынужденных колебаниях осциллятора, т. е. об осцилля­торе, на который действует внешняя сила. Как и раньше, мы хотим решить уравнение (23.2), но давайте начнем с уравнения

где

— комплексное число. Конечно, х — тоже комп­лексное число, но запомним правило: чтобы найти интересую­щие нас величины, надо взять действительную часть х. Найдем решение (23.3), описывающее вынужденные колебания. О дру­гих решениях поговорим потом. Это решение имеет ту же час­тоту, что и внешняя (приложенная) сила. Колебание, кроме того, характеризуется амплитудой и фазой, поэтому если пред­ставить смещение числом , то модуль его скажет нам о размахе колебаний, а фаза комплексного числа — о временной задержке колебания. Воспользуемся теперь замечательным свойством экс­поненты:

Дифференцируя экспо­ненциальную функцию, мы опускаем вниз экспоненту, делая ее простым множителем. Дифференцируя еще раз, мы снова при­писываем такой же множитель, поэтому очень просто написать уравнение для

: каждое дифференцирование по времени надо заменить умножением на iw. (Дифференцирование становится теперь столь же простым, как и умножение! Идея использовать экспоненциальные функции в линейных дифференциальных уравнениях почти столь же грандиозна, как изобретение лога­рифмов, которые заменили умножение сложением. Здесь дифференцирование заменяется умножением.) Таким образом, мы получаем уравнение

[Мы опустили общий множитель e^>i>w>t.]Смотрите, как все просто! Дифференциальное уравнение немедленно сводится к чисто алгебраическому; сразу же можно написать его решение

поскольку (iw)^>2=-w^>2. Решение можно несколько упростить, подставив k/m=w^>2_>0, тогда

Это, конечно, то же самое решение, которое уже было нами по­лучено ранее. Поскольку m(w^>2_>0-w^>2) — действительное число, то фазовые углы F и х совпадают (или отличаются на 180°, если (w^>2>w^>2_>0). Об этом тоже уже говорилось. Модуль