6. Электродинамика | страница 42

Фиг. 17.9. Любые две катушки обладают взаимной индукцией m, пропорциональной инте­гралу от ds_>1·ds_>2· (1/r_>12).

э. д. с. в катушке 1 снова была бы пропорциональна dI_>2/dt. Мы можем записать

(17.27)

Вычисление m_{> 12} было бы труднее, чем те вычисления, кото­рые мы проделали для m_{> 21}. Мы не будем сейчас им заниматься, потому что дальше в этой главе мы покажем, что m_{> 12} обя­зательно равно m_{> 21}.

Поскольку поле любой катушки пропорционально текущему в ней току, такой же результат получился бы и для любых двух катушек из проволоки. Выражения (17.26) и (17.27) при­обрели бы одинаковую форму, и только постоянные m_{> 12} и m_{> 21} были бы другие. Их значения будут зависеть от формы кату­шек и их относительного положения.

Предположим, нам нужно найти коэффициент взаимной ин­дукции между двумя произвольными катушками, например показанными на фиг. 17.9. Мы знаем, что общее выражение для э. д. с. в катушке 1 можно записать так:

где В — магнитное поле, а интеграл берется по поверхности, ограниченной контуром 1. В гл. 14, § 1 (вып. 5) мы видели, что поверхностный интеграл от В можно свести к контурному ин­тегралу от векторного потенциала. В нашем случае

как контурный интеграл по контуру цепи 2:

(17.29)

где I_>2 — ток в цепи 2, а r_>12 — расстояние от элемента цепи ds_>2 к точке на контуре 1, в которой мы вычисляем векторный потенциал (см. фиг. 17.9). Комбинируя (17.28) и (17.29), можно выразить э. д. с. в цепи 1 как двойной контурный интеграл:

В этом выражении все интегралы берутся по неподвижным кон­турам. Единственной переменной величиной является ток I_>2, который не зависит от переменных интегрирования. Поэтому его можно вынести за знак интеграла. Тогда э. д. с. можно записать как

где коэффициент m_{> 12} равен

(17.30)

Из этого интеграла очевидно, что m_{> 12} зависит только от гео­метрии цепей; он зависит от некоторого среднего расстояния между двумя цепями, причем в среднее с наибольшим весом входят параллельные отрезки проводников двух катушек. Нашу формулу можно использовать для вычисления коэффи­циента взаимной индукции любых двух цепей произвольной формы. Кроме того, она показывает, что интеграл для m_{> 12} тождествен с интегралом для m_{> 21}. Таким образом, мы показали, что оба коэффициента одинаковы. Для системы только с двумя катушками коэффициенты m_{> 12} и m_{> 21} часто обозначают символом m без значков и называют просто коэффициентом взаимной индукции:

m_{> 12}= m_{> 21} = m.

§ 7. Самоиндукция

При обсуждении индуцированных э. д. с. в двух катушках на фиг. 17.8 и 17.9 мы рассмотрели лишь случай, когда ток проходит либо в одной катушке, либо в другой. Если токи име­ются одновременно в обеих катушках, то магнитный поток, пронизывающий каждую катушку, будет представлять сумму двух потоков, существующих и по отдельности, поскольку к магнитным полям применим принцип суперпозиции. Поэтому э. д. с. в каждой катушке будет пропорциональна не только изменению тока в другой катушке, но и изменению тока в ней самой.