8a. Квантовая механика I | страница 43

Как же меняется |y> во времени? Продифференцируем его:

Но базисные состояния |i> во времени неменяются (по край­ней мере у нас они всегда были определенными, закрепленными состояниями), и только амплитуды <i|y>—это числа, которые могут меняться. Иначе говоря, (9.21) прекращается в

Но ведь d<i|y>/dt нам известно—это (9.16); получается, сле­довательно,

А это опять-таки уравнение (9.18).

Итак, на гамильтониан можно смотреть по-разному. Можно рассматривать совокупность коэффициентов H_>ijпросто как компанию чисел, можно говорить об «амплитудах» <i|Н|j>, можно представлять себе «матрицу» H_>ijи можно считать его

«оператором» H^. Все это одно и то же.

Вернемся теперь к нашей системе с двумя состояниями. Если уж мы записываем гамильтониан через матрицы сигма (с подходящими численными множителями, такими, как В_>х и т. д.), то естественно рассматривать и s^>x_>ij как амплитуду < i|s_>х|j>, или, для краткости, как оператор s^_>л. Если приме­нить эту идею оператора, то уравнение движения состояния |y> в магнитном поле можно написать в виде

Желая «использовать» это уравнение, нам, естественно, прихо­дится выражать |y> через базисные векторы (равносильно тому, что приходится находить компоненты пространственных векторов, когда задача доводится до числа). Так что обычно мы предпочитаем расписывать (9.23) в более раскрытом виде:

Сейчас вы увидите, чем красива идея оператора. Чтобы при­менять уравнение (9.24), нужно знать, что будет, когда опера­торы о подействуют на каждое базисное состояние. На­пишем s^_>z|+>; это какой-то вектор |?>, но какой? Что ж, умножим его слева на <+| и получим

(пользуясь табл. 9.1). Итак, мы знаем, что

<+|?>=1. (9.25)

Теперь умножим s^_>z|+> слева на <-|. Получится

т, е.

Существует только один вектор состояния, удовлетворяющий и (9.25), и (9.26); это |+>. Мы, стало быть, открыли, что

Такого рода рассуждениями можно легко показать, что все свойства матриц сигма могут быть в операторных обозначениях описаны рядом правил, приведенных в табл. 9.3.

Таблица 9.3 · СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА s^

Если у нас есть произведения матриц сигма, то они переходят в произведения операторов. Когда два оператора стоят рядом в виде произведения, то сперва приступает к операции тот оператор, который стоит правее. Скажем, под s^_>xs^_>y|+> надо понимать s^_>х(s^_>y|+>). Из табл. 9.3 получаем s^_>y|+>=i|-> так что

Числа (как, например, i) просто проходят сквозь операторы (операторы действуют только на векторы состояний); значит (9.28) перейдет в