Задача 8.5*. В лифте многоэтажного дома работают только две кнопки: одна поднимает лифт на х этажей, вторая опускает на у этажей (если это возможно при данном положении лифта), где натуральные числа х и у меньше количества этажей в доме. Рассмотрим три утверждения:
(1) С любого этажа можно попасть на любой другой.
(2) С любого этажа, кроме последнего, можно подняться на следующий.
(3) С любого этажа, кроме первого, можно спуститься на предыдущий.
1) Покажите, что в зависимости от значений х и у каждое утверждение может быть как верным, так и неверным.
2) Между какими из этих утверждений можно поставить знак следствия и получить верное высказывание? Есть ли среди данных трех утверждений равносильные?
Решение. 1) При х = у = 1 все утверждения верны, при х = у = 2 неверны, так как нельзя поменять четность этажа.
2) Очевидно, что (1) ⇒ (2), (1) ⇒ (3). Кроме того, из одновременной истинности (2) и (3) следует (1). Докажем, что (2) ⇒ (3). Пусть лифт находится на n-м этаже. Если n – у > 0, то сначала опустимся на у этажей, а потом у — 1 раз поднимемся на 1 этаж и окажемся на (n — 1) – м этаже. Если n – у ≤ 0, то n < у + 1, поэтому можно, прибавляя по этажу, постепенно подняться до (у + 1) – го этажа, затем спуститься на у этажей до первого, а потом постепенно подняться на (n — 1) – й этаж. Аналогично доказывается и (3) ⇒ (2), что завершает доказательство равносильности всех трех утверждений.
Ответ. Все утверждения равносильны.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 8.6. Иа-Иа считает, что у Винни-Пуха хорошее настроение бывает тогда и только тогда, когда Винни-Пух хорошенько подкрепился. Съев всё, что было у Кролика,
Винни-Пух застрял в норе, и его настроение сразу испортилось. Прав ли Иа-Иа?
Задача 8.7. Будем считать, что трава зеленая, а небо голубое. Определите, какие из данных высказываний истинны, а какие ложны:
1) Если трава зеленая, то небо голубое.
2) Если трава зеленая, то небо оранжевое.
3) Если трава оранжевая, то небо зеленое.
4) Если трава оранжевая, то небо голубое.
5) Трава зеленая тогда и только тогда, когда небо голубое.
6) Трава зеленая тогда и только тогда, когда небо оранжевое.
7) Трава оранжевая тогда и только тогда, когда небо зеленое.
8) Трава оранжевая тогда и только тогда, когда небо голубое.
Задача 8.8. В лесу живут только ляпусики и мордасики. Равносильны ли для обитателей леса три утверждения:
(1) все ляпусики кузявые;
(2) если кто-то некузяв, то он мордасик;
