Логика для всех. От пиратов до мудрецов | страница 38

Задача 7.15. Найдите ошибку в рассуждении.

Докажем от противного, что ленивых учеников больше, чем прилежных. Предположим, что прилежных не меньше, чем ленивых. Несомненно, ленивых учеников больше, чем надо. Значит, получается, что прилежных учеников тем более больше, чем надо?! С этим мы, учителя, согласиться никак не можем. Получили противоречие, значит, исходное предположение было неверно, и на самом деле ленивых учеников больше, чем прилежных.

Знаю – один

Мне равносилен.

М. Цветаева

Это занятие разнообразно как по тематике, так и по сложности задач. Первый уровень образуют задачи 8.1–8.3 и 8.6–8.9, с помощью которых ребята знакомятся с понятием равносильности высказываний и продолжают работать со следствием.

Как и при изучении следствия, использование таблиц истинности и кругов Эйлера является не самоцелью, а средством решения задач и не должно быть чрезмерным. При обсуждении задачи 8.1 лучше просить ребят привести свои примеры высказываний и совместно прийти к выводу, что во втором пункте этого достаточно для полного решения задачи, а в первом и третьем примеры могут лишь помочь угадать ответ. Задача 8.3 служит для повторения материала второго занятия (про всех и некоторых), а также важных фактов, связанных с делимостью. Задачи 8.2, 8.9 и 8.10 полезны для повторения метода от противного.

Ко второму уровню сложности можно отнести задачи 8.4, 8.5 и 8.10, в которых ставится вопрос о доказательстве равносильности нескольких утверждений. В задачах 8.5 и 8.10 значение имеет уже не только логическая структура доказательства, но и математическое содержание самих высказываний. Задача 8.11 не столько логическая, сколько комбинаторная; ее последний пункт существенно сложнее остальных задач занятия.

Рассмотрим два высказывания. А: «Число кратно 9», Б: «Сумма цифр числа кратна 9». Для каждого конкретного натурального числа эти высказывания либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, поскольку натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Другими словами, высказывания А и Б равносильны. Записывается это так: А⇔Б.

Таблица истинности показывает, когда высказывание «А⇔Б» истинно, а когда ложно:

Изобразим область истинности равносильных высказываний. Если те объекты, для которых истинно высказывание А, находятся в первом круге, а те, для которых истинно высказывание Б, во втором, то те, для которых истинно высказывание А⇔Б, находятся в серой области (рис. 17).