В то же время, однако, некоторые постулаты не поддавались этому сближению с аксиомами по признаку безусловной очевидности. Таков был прежде всего постулат Евклида о параллельных. Уже в самой своей формулировке он содержал понятие о неограниченном продолжении прямой — понятие, которое никак не могло быть признано ни самоочевидным, ни непосредственно постигаемым.
К этому присоединилось ещё и то, что целый ряд начальных положений (теорем и задач на построение) геометрии Евклида доказывался и решался вовсе без участия постулата о параллельных. Только в двадцать девятом предложении первой книги «Начал» постулат Евклида впервые использовался в качестве одного из оснований доказательства этого предложения.
Эта далеко не безусловная «очевидность» постулата о параллельных, а также «позднее» появление его в числе оснований, на которые опираются доказательства теорем геометрии Евклида, в сопоставлении со взглядом на аксиомы, как на истины самоочевидные, уже давно внушали математикам мысль — не является ли этот постулат теоремой, которая может быть доказана.
Попытки доказать 5-й постулат Евклида предпринимались ещё античными математиками и продолжались до Лобачевского. Великий русский математик во второй половине 20-х годов прошлого века пришёл к гениальному открытию, которое повлекло за собой коренную переработку взгляда логики на природу аксиом и на их значение для доказательства.
В начале своих исследований, посвящённых теории параллельных, Лобачевский пытался доказать постулат Евклида способом от противного. Предполагая, в противоречии с постулатом Евклида, что через точку вне данной прямой в одной с ней плоскости можно провести не одну единственную прямую, не пересекающуюся с данной, Лобачевский надеялся, что, развивая следствия из этого предположения, он придёт в конце концов к следствию, опровергающему это предположение и тем самым доказывающему истинность самого постулата Евклида.
Но никакие следствия, развиваемые из предположения, противоречащего постулату Евклида, не могли доказать абсурдность этого предположения. Никаких противоречий между теоремами, доказанными на основе предположения, противоречащего постулату Евклида, не получалось.
В конце концов Лобачевский убедился, что все старания ряда математиков доказать постулат Евклида, т. е. вывести его как следствие из других аксиом и постулатов Евклида, были ошибочны не только по выполнению, но и по замыслу. Постулат о параллельных оказался независимым от остальных аксиом и постулатов Евклида. С другой стороны, как уже говорилось выше, постулат этот не обладает и безусловной очевидностью. Тем не менее постулат Евклида является одним из оснований классической системы геометрии, не заключающей нигде в своих доказываемых с помощью этого постулата положениях никаких противоречий.
