3² + 4² = 5²
5² + 12² = 13²
133² + 156² = 205²
Поскольку загадка Диофанта показалась Ферма скучной, он решил проанализировать ее другой вариант и найти целые решения такого уравнения:
Несмотря на все усилия, Ферма удалось найти только тривиальные решения с участием нуля, такие как 0³ + 7³ = 7³. При попытке отыскать более содержательные решения самым лучшим, что он смог предложить, было уравнение, отличающееся от искомого всего на единицу: 6³ + 8³ = 9³ − 1.
Более того, при дальнейшем увеличении степени, в которую возводятся x, y и z, попытки найти целые решения каждый раз заканчивались ничем. Ферма пришел к выводу, что целочисленных решений для любого из следующих уравнений нет:
x³ + y³ = z³
x>4 + y>4 = z>4
x>5 + y>5 = z>5
x>6 + y>6 = z>6
x>n + y>n = z>n, где n > 2
Однако в конце концов Ферма совершил прорыв. Он не нашел множества чисел, которые стали бы решением одного из этих уравнений, но зато сформулировал доказательство того, что такого решения не существует, и в связи с этим набросал на полях «Арифметики» пару интригующих предложений на латыни. Начав с утверждения о том, что целочисленных решений любого из бесконечного множества упомянутых выше уравнений нет, затем он уверенно прибавил: «Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hanc marginis exiguitas non caperet» («Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него»).
Пьер Ферма нашел доказательство, но не удосужился его записать. Пожалуй, это самая удручающая запись за всю историю математики, особенно учитывая тот факт, что Ферма унес свой секрет в могилу.
Впоследствии сын Ферма Клемент-Самуэль обнаружил отцовский экземпляр «Арифметики» и обратил внимание на эту интригующую заметку на полях. Кроме того, он нашел в книге еще много ценных записей, ведь Ферма имел привычку, заявив об очередном доказательстве, редко записывать его. Клемент-Самуэль решил опубликовать новую редакцию «Арифметики» со всеми заметками своего отца, сделанными на полях первого издания, и она вышла в 1670 году. Это оживило математическое сообщество, пробудив у его представителей острое желание найти отсутствующие доказательства, связанные с каждым заявлением Ферма. И, надо сказать, постепенно они подтвердили правоту Ферма во всех случаях, кроме одного. Никто не смог доказать, что уравнение x>n + y>n = z>n (n > 2) не имеет решений. В итоге его назвали «последняя теорема Ферма», поскольку оно было единственным, остающимся недоказанным.
