Повествование ведется от имени Квадрата, жителя Флатландии – плоского мира с двумя измерениями: длиной и шириной.
«Представьте себе огромный лист бумаги, на котором Отрезки прямых, Треугольники, Квадраты, Пятиугольники, Шестиугольники и другие фигуры вместо того, чтобы неподвижно оставаться на своих местах, свободно перемещаются по всем направлениям вдоль поверхности, не будучи, однако, в силах ни приподняться над ней, ни опуститься под нее, подобно теням (только твердым и со светящимися краями), и вы получите весьма точное представление о моей стране и моих соотечественниках, – сообщает Квадрат. – Мы не видим, да и не могли бы видеть ничего, кроме Отрезков прямых. Чем это вызвано, я постараюсь сейчас объяснить.
Положите на какой-нибудь стол в своем Пространстве монету достоинством в один пенни и, наклонившись над столом, посмотрите на него сверху. Монета покажется вам кругом.
Приняв затем вертикальное положение, начните медленно приседать таким образом, чтобы луч вашего зрения постепенно приближался к поверхности стола (а вы сами все более и более приближались бы к состоянию обитателей Флатландии). Вы увидите, что монета перестанет казаться вам кругом и примет овальную форму. Когда же, наконец, луч вашего зрения совместится с поверхностью стола (а вы как бы станете флатландцем), то монета вообще перестанет быть овалом и покажется вам, как вы сможете убедиться, отрезком прямой.
Наш знакомый всегда выглядит для нас отрезком прямой. Независимо от того, имеет ли он форму Треугольника, Квадрата, Пятиугольника, Шестиугольника, Окружности, мы всегда увидим Отрезок прямой и ничего больше».
Флатландцы, или «пласкатики», как нам больше нравится их называть, имели сложную общественную систему, весьма схожую с нашей, и свято верили, что двухмерный мир – единственно возможная пространственная система. Друг друга они распознавали на слух и на ощупь, а также по уровню светимости Отрезков, из которых состояли их фигуры.
Однажды Квадрату, увлекавшемуся геометрией, привиделся сон, в котором он оказался в необычной стране Лайнландии. Это был одномерный мир, все жители которого располагались на Прямой, которая, по их представлениям, составляла весь мир и все Пространство. Отрезки-мужчины и Точки-женщины могли двигаться и видеть лишь вдоль единственной Прямой и все лайнландцы в глазах друг друга выглядели только Точками.
Квадрат вступил в разговор с королем этой крайне необычной для него страны и попытался выяснить, как тот отличает форму и положение своих подданных – ведь все они выглядят Точками, а Отрезки имеют различную длину.
