Вселенная работает как часы. Лаплас. Небесная механика | страница 65
Формула Якоба Бернулли позволяла эмпирическим путем рассчитать неизвестные вероятности и определить объективную вероятность события. И действительно, если частота события с увеличением количества наблюдений стремится к вероятностным значениям, почему не определить вероятность, исходя из частоты? Благодаря индукции можно определить вероятность как предел частоты, а не просто вычислить ее логическим или субъективным способом (как степень ожидания).
Французский математик Абрахам де Муавр (1667- 1754) — ревностный кальвинист, который был вынужден эмигрировать в Великобританию, чтобы избежать религиозных преследований, — в 1718 году опубликовал свой трактат «Доктрина азарта». В нем де Муавр подчеркивал, что статистическая закономерность, подтверждаемая формулой Бернулли, невозможна без помощи Бога. Вероятно, из его работ, как мы увидим это позже, Лаплас унаследовал отношение к божественному провидению, которому он нашел место даже в основах теории вероятностей.
Возьмем событие А, вероятность наступления которого равна р. Мы повторяем эксперимент п раз, чтобы определить частоту наступления А. Если событие А имеет место т раз, то, вычислив т/п, мы определим частоту его наступления, то есть количество раз, когда событие произошло по отношению к общему количеству попыток. В абсолютном выражении разница между вероятностью р и относительной частотой т/п определяет ошибку, которую мы могли бы совершить, если бы использовали относительную частоту в качестве приближенного значения вероятности. Бернулли доказал, что если мы повторим опыт достаточное количество раз, эта разница будет меняться: она стремится к нулю, когда п стремится к бесконечности. В математических терминах это выражается так, как показано ниже: если е — это положительное значение, сколь угодно малое, тогда:
Эта формула иллюстрирует закон случая, или закон стабильности частоты: используя терминологию той эпохи, существует уверенность в том, что в долгосрочной перспективе относительная частота события не будет слишком сильно отклоняться от его вероятности. Это самая простая формулировка закона больших чисел, предложенного в XIX веке последователем Лапласа Симеоном Луи Пуассоном.
Якоб Бернулли (1654-1705) по желанию своего отца изучал теологию, но очень скоро он оставил этот путь, чтобы стать преподавателем математики в Базельском университете. Эту должность ученый будет занимать до самой смерти. Его младший брат Иоганн (1667-1748), также очарованный математикой, пошел по стопам Якоба и сменил его на академическом посту. Отношения между братьями были напряженными в течение всей жизни. Оба педанты, они часто спорили о первенстве в решении математических задач. Жесткая полемика возникла по поводу того, кто первым нашел решение задачи о брахистохроне (кривой скорейшего спуска), которая была настоящим вызовом для европейских математиков: Якоб, Иоганн, Лейбниц или Ньютон (последний нашел ответ после изнурительного рабочего дня в монетном дворе Лондона и опубликовал его анонимно, однако инкогнито сохранить не удалось, поскольку «льва узнают по когтям», как сказал один братьев). Иоганн имел довольно тяжелый характер и даже выгнал из дома собственного сына Даниила (1700-1782).
