Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии | страница 57

В примерах с птицей или рыбой результирующая скорость будет равна сумме всего двух векторов. Но в силу особенностей задачи для сложения векторов используется не правило параллелограмма, а правило многоугольника.

Допустим, что рыба или птица движется в воде или в воздухе со скоростью, обозначаемой вектором V_>A^>->, V_>M^>-> — скорость течения воды (или ветра). Как следствие, вектор результирующей скорости V^>-> будет равен сумме векторов V_>A^>-> и V_>M^>->, определяемой по правилу многоугольника.

Сумма векторов в примере с полетом птицы, найденная по правилу многоугольника.

Достаточно помнить, что во всех подобных примерах, если вы хотите найти результат как вектор-столбец, к примеру F^>->, V^>->:

нужно сложить векторы по тому же правилу, что и матрицы, то есть F_>U^>-> + F_>И^>->, F_>L^>-> + F_>M^>-> и V_>A^>-> + V_>M^>-> соответственно.

Помимо сложения, существует множество способов применения других операций над векторами. Так, умножение векторов успешно используется в математических моделях, описывающих наиболее характерные функции мозга.

Когда мы говорили об операциях над матрицами, мы представили модель нейронной сети, основанную на произведении вектора и матрицы:

Нейронную сеть также можно представить в более простом виде:

M·u^>-> = v^>->.

В соответствии с вышесказанным, u^>-> — вектор, представляющий слой входных, или афферентных, нейронов, вектор v^>-> — слой выходных, или эфферентных нейронов.

М — матрица связей между нейронами этих двух слоев, также известная как матрица памяти. Это название указывает на то, что именно в связях между нейронами, синапсах, мозг хранит всю известную нам информацию.

Эту гипотезу выдвинул испанский исследователь Сантьяго Рамон-и-Кахаль, а позднее развил американский ученый Дональд Хебб. В настоящее время нейробиологи считают, что именно в связях между нейронами фиксируются черты лиц знакомых нам людей, очертания букв, чисел и многие другие образы.

Сантьяго Рамон-и-Кахаль (1852–1934) в лаборатории. Справа изображен один из его рисунков, описывающих нейронные сети.

Следовательно, если мы рассмотрим произвольную строку матрицы М как вектор-строку, описывающий связи между определенным выходным нейроном и всеми входными нейронами, то состояние этого выходного нейрона можно будет вычислить так, как мы объясняли в прошлой главе. Операция над векторами называется скалярным произведением. Рассмотрим два вектора: вектор-строку а^>-> (исключительно из формальных соображений дополним это обозначение буквой