Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии | страница 33

и колония бактерий Escherichia coli

Нет такой области науки, где рано или поздно не появилось бы число е, будь то молекулярная биология или статистика, физика или химия. Это вездесущее число обнаруживается во множестве природных явлений. Число е — иррациональное. Это означает, что его десятичная запись никогда не заканчивается и не повторяется, что роднит его с числом π. Считается, что число е открыл Якоб Бернулли при изучении следующего предела:

получив результат 2,71828. Программа символьных вычислений, подобная Derive, позволяет мгновенно вычислить этот предел и получить указанный выше результат:

LIM((1 + 1/n)^n, n, INF, 0)

Приближенное значение числа e

В 1618 году Непер уже упоминает это число в своих логарифмических таблицах как основание натуральных логарифмов log_>c(x) или, в сокращенном виде, ln(х). Обозначение в виде буквы е ввел математик Леонард Эйлер в 1727 году. Среди любопытных фактов, связанных с этим числом, выделяются те, что относятся к экспоненциальной функции е^>х. Во-первых, производной функции f(х) = е^>хявляется эта же самая функция, то есть f'(х) = е^>х. Производная в точке х = 0 равна f'(х) = 1. Во-вторых, интерес представляет интеграл этой функции: 

Обратите внимание, что знаменателями членов ряда являются факториалы последовательных чисел, которые определяются, к примеру, так: 4!= 4·3·2·1. Если бы ряд имел вид 1 + х + х^>2/2! + х^>3/3! + х^>4/4! + … + х^>n/n! то сумма этого ряда приближалась бы к экспоненциальной функции е^>х.

Подобные соотношения наблюдаются при изучении множества явлений. В частности, к ним относится экспоненциальный рост населения, проанализированный Мальтусом. Примером экспоненциального роста является рост колонии бактерий.

Пусть N — начальное число бактерий Escherichia coli в лабораторной чашке Петри, r — показатель роста численности бактерий. Тогда N_>t — численность бактерий в колонии в момент времени t — будет определяться следующим выражением:

N_>t = N_>0e^>rt

Так как следующее поколение бактерий образуется каждые 30 минут, по прошествии некоторого времени в чашке Петри будет находиться несколько миллионов бактерий. Другой пример, представляющий практический интерес для математической биологии, — это распределение Пуассона, или закон распределения вероятностей, описывающий случайные события, имеющие малую вероятность. Допустим, мы подвергли чашку Петри с культурой бактерий