Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии | страница 32
Первыми, кто рассмотрел эпидемии с точки зрения математики, были Уильям Хаммер и Рональд Росс. Для анализа эти ученые применили закон действующих масс. Позднее Лоуэлл Рид и Уэйд Фрост разработали модель Рида — Фроста, связав число здоровых людей, восприимчивых к заболеванию (S), число заболевших (I) и число людей, невосприимчивых к заболеванию.
Анализировать распространение заболеваний специалистам вновь помогают дифференциальные уравнения. Допустим, что численность населения составляет N человек, из которых I заражены вирусом. Это означает, что число здоровых людей равно N — I. Так как люди, зараженные вирусом, живут рядом со здоровыми, последние подвергаются риску заражения (S). Следовательно, S = N — I.
В одной из классических моделей эпидемиологии утверждается, что изменение числа зараженных в зависимости от времени описывается дифференциальным уравнением: I' = k·I·(N — I). В упрощенном виде оно выглядит так: I' = k·I·S. Решением этого дифференциального уравнения будет знаменитое логистическое уравнение, описывающее ход любой эпидемии:
Обратите внимание, что в начале эпидемии (то есть при t, стремящемся к нулю) логистическое уравнение будет приблизительно эквивалентным уравнению экспоненциального роста, то есть уравнению модели Мальтуса. Это отражает тот факт, что в начале эпидемии число зараженных резко увеличивается. В случае с заболеваниями, которые становятся причиной напряжения в обществе, например СПИДом или свиным гриппом, сообщения о росте эпидемии, распространяемые СМИ, только усугубляют панику.
Если предположить, что предельное число заболевших равно числу здоровых людей, восприимчивых к заболеванию, то есть N, то начиная с определенного момента рост эпидемии замедлится, как и рост числа новых заболевших, I. Это значение, столь важное для органов здравоохранения любой страны, достигается, когда число заболевших I составляет половину численности восприимчивого к вирусу населения, то есть N/2. После этого количество новых случаев заболевания стабилизируется вплоть до окончания эпидемии.
В настоящее время благодаря использованию компьютерного моделирования можно оценить распространение эпидемии (например, сезонного гриппа), что позволяет органам здравоохранения формировать календарь вакцинации населения.
В эпидемиологии используются такие компьютерные программы, как Epigrass, Any Logic Model-Builder и STEM (Spatio Temporal Epidemiological Modeler).
Число
