Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии | страница 26

Чтобы получить формулу для определения возраста объектов, используем уравнение роста из модели Мальтуса. Обозначим через у содержание С-14 в определенный момент времени t, через у_>0  — содержание С-14 в ископаемом. Кроме того, искомая формула будет включать r — так называемую константу распада, известную для всех изотопов: у = y_>0e^>rt.

Так как известно, что период полураспада С-14 составляет 5600 лет, предыдущее выражение примет вид:

После ряда преобразований получим у = у_>0е^{>-0,00012378t}. Выразив время t из этого выражения, найдем формулу, с помощью которой палеонтологи и археологи определяют возраст ископаемых и археологических находок:

Это выражение можно использовать в случаях, когда возраст анализируемого объекта не превышает 50 тысяч лет.

К примеру, мы обнаружили кость доисторического животного, содержащую 1/100 изотопа С-14. Чему равен возраст находки? По условию задачи, с будет равно 100. Подставив это значение в исходное выражение, имеем:

Можно сделать вывод: возраст кости составляет примерно 37 тысяч лет.

В 1798 году Томас Роберт Мальтус опубликовал книгу «Эссе о росте народонаселения». Согласно его гипотезе, в какой-то момент численность населения Земли будет расти в геометрической прогрессии, то есть экспоненциально. При этом объем продовольственных и любых других ресурсов возрастает в арифметической прогрессии, то есть линейно. Так, численность населения описывается последовательностью 2 (2^>1), 4 (2^>2), 8 (2^>3), 16 (2^>4), 32 (2^>5), 64 (2^>6) и т. д., количество продовольственных ресурсов — 2, 3, 4, 3, 6 и т. д. Следовательно, наступит момент, когда высокая рождаемость, особенно среди рабочего класса, приведет к недостатку продовольствия (отметим, что марксисты считали теории Мальтуса нападками на рабочий класс).

Англиканский священник Томас Роберт Мальтус (1766–1834). Справа представлены две модели роста: экспоненциальная (1) и линейная (2).

Допустим, что мы применили модель Мальтуса, в частности у' = r·у, к некоторой популяции животных или микроорганизмов. В конечном итоге в этой модели скорость роста населения у пропорциональна численности населения у. Таким образом, применив математические методы, можно преобразовать исходное дифференциальное уравнение, как показано ниже. Во-первых, нужно записать уравнение в следующем виде: dy/dt = r·у, где r — параметр, отражающий рост населения с постоянной скоростью, которая не меняется в последующих поколениях. Этот параметр называется коэффициентом роста населения.