Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика | страница 25

* * *

Расстояние между двумя точками произвольной поверхности можно определить как длину кратчайшей из кривых, соединяющих эти две точки (именно так поступают геометры). По сути этим расстоянием будет длина кратчайшего пути между двумя рассматриваемыми точками, при условии что такой путь вообще существует. В геометрии кривые, указывающие кратчайший путь на поверхности, называются геодезическими линиями. Впрочем, это понятие несколько шире и включает кривые, определяющие «локальный» кратчайший путь. Что это означает? Это означает, что мы можем выбрать две точки поверхности, соединенные геодезической линией, так, что она не укажет наименьшее расстояние между ними. Однако если мы выберем две произвольные промежуточные точки геодезической линии, близкие друг к другу, то кратчайшим путем между ними всегда будет соединяющая их часть геодезической линии, как показано на рисунке.

Геодезические линии указывают кратчайшее расстояние между соседними точками, однако в общем случае это не так. Например, часть меридиана, соединяющего Лондон и город Гао в Мали и проходящего через Северный полюс, Атлантический океан и Южный полюс, — это геодезическая линия, но она не соответствует кратчайшему пути из Лондона в Гао. Однако эта геодезическая линия соответствует кратчайшему пути между близлежащими точками, например между Гао и городом Аккра в Гане или между Лондоном и Северным полюсом.

Как всем хорошо известно, геодезическими линиями плоскости являются прямые. Тем не менее минимальное расстояние между точками на сфере указывают большие круги — кривые, получаемые сечением сферы плоскостями, проходящими через ее центр. Примерами больших кругов сферы являются меридианы. Единственная параллель, которая является большим кругом, — это экватор.

На иллюстрации показаны большие круги Земли.

Проведем эксперимент. Допустим, что мы хотим провести прямую, проходящую через две точки плоской поверхности. Для этого мы можем соединить эти точки простой веревкой и сильно натянуть ее. Веревка примет форму прямой, соединяющей две точки. Теперь рассмотрим земной шар. Чтобы определить кратчайший путь между двумя точками земного шара, например между Барселоной и Аделаидой, соединим указанные точки веревкой и натянем ее. Мы получим кривую наименьшей длины, соединяющую два указанных города (то есть геодезическую линию), которая будет частью большого круга, проходящего через эти города, как показано на иллюстрации.