Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике | страница 42

6 = (2^>2 — 1)·2

28 = (2^>3 — 1)·2^>2

496 = (2^>5 — 1)·2^>4

8128 = (2^>7 — 1)·2^>6.

И всякий раз, когда 2^>n — 1 простое число, (2n — 1)·2^>n-1 будет совершенным числом.

Предположения о совершенных числах

Математики Античности, которым были известны первые четыре совершенных числа, выдвигали самые разнообразные предположения. Например, можно заметить, что значение n для первых четырех простых чисел является членом последовательности простых чисел 2, 3, 3, 7. Возникает соблазн предположить, что следующим совершенным числом будет (2^>11 — 1)·2^>10, но это не так, потому что 2^>11 — 1 = 2047 = 23·89. Это число не является простым, следовательно, n = 11 не соответствует совершенному числу.

Также было обнаружено, что первое совершенное число имеет одну цифру, второе — две, третье — три и так далее. Следовательно, считалось, что пятое совершенное число будет иметь пять цифр. Но это не так, потому что пятым совершенным числом является (2^>13 — 1)· 2^>12  = 8191·4096 = 33 350 336, которое имеет восемь цифр.

Древние также заметили, что последние цифры совершенных чисел чередуются: 6, 8, 6, 8, 6. Следовательно, шестое совершенное число должно заканчиваться на 8. Но и это предположение не подтвердилось, так как шестое совершенное число равно (2^>17 — 1)·2^>16 = 131 071·65 536 = 8 589 869 056 и заканчивается на 6.

Но не все предположения древних оказывались ошибочными. Они предполагали, что все совершенные числа будут четными и что с помощью данной формулы можно будет найти их все. Это очень легко предположить, но крайне сложно доказать. Лишь в XVIII веке Леонард Эйлер привел первое доказательство того, что подобным образом можно получить все четные совершенные числа. Следовательно, было доказано, что все совершенные числа оканчиваются на 6 или на 8, но эти цифры не чередуются. Но до сих пор неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа. Было лишь доказано, что если и существует нечетное совершенное число, то оно должно быть больше 10^>300. Однако это не доказывает, что нечетных совершенных чисел не существует, ведь что значат несколько триллионов по сравнению с необозримым бесконечным рядом натуральных чисел?

Портрет Леонарда Эйлера кисти Эмануэля Хандманна. Этот математик XVIII века совершил важные открытия, касающиеся совершенных и простых чисел.

Также была выдвинута гипотеза, что совершенных чисел бесконечно много, но пока это не удалось доказать. Постоянно объявляют о том, что открыто новое простое число Мерсенна. Каждому такому числу соответствует совершенное число. В настоящее время сотни добровольцев участвуют в проекте GIMPS (