Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики | страница 58

В популярной литературе часто встречается объяснение энтропии как хаоса. Теперь, когда мы знаем связь между энтропией и числом микросостояний, мы можем понять, почему это происходит. Самый простой способ увидеть это — обратить внимание на доску, покрытую шашками.

Предположим, что мы ставим шашки в порядке, как показано на рисунке.

Каково сейчас число микросостояний, совместимых с этой конфигурацией? Чтобы найти его, воспользуемся рассуждениями из области комбинаторики, подобными приведенным в предыдущей главе. У нас 32 черные клетки и столько же белых. Мы ставим первую черную шашку на любое белое поле; для следующей есть только 31 вариант, и так далее. Следовательно, существует всего 32! способа распределить черные шашки, если считать, что они отличаются друг от друга. Точно так же есть 32! способа распределения белых шашек, так что всего у нас 32!·32! способов установить шашки, чтобы получить вышеуказанную конфигурацию.

Остальные конфигурации будут более беспорядочными, чем эта, поскольку нет никаких ограничений, связанных с тем, как следует располагать шашки. Например, конфигурации, показанные ниже, более беспорядочны, чем предыдущая.

Вычислим общую сумму возможных конфигураций всех шашек. Поскольку нам все равно, белая шашка или черная и где она находится, рассмотрим их все одновременно. Для первой у нас будет 64 возможности, для второй — 63, и так далее.

Итак, общее число конфигураций равно 64! Вероятность получения упорядоченной конфигурации равна числу упорядоченных конфигураций, разделенному на общее число конфигураций:

Как видите, упорядоченное положение имеет очень малую вероятность, а хаотичные состояния, напротив, очень вероятны. Поскольку состояния, характеризующиеся высокой энтропией, а также хаотичные состояния имеют очень высокую вероятность, мы можем связать их друг с другом и заключить, что состояния высокой энтропии более хаотичны.

Как мы только что увидели, энтропия пропорциональна числу микросостояний, характерных для макросостояния, в котором находится система. Однако даже зная макросостояние, мы не можем знать микросостояние, и чем выше энтропия системы, тем ниже ее предсказуемость. Предположим, что у нас есть система с 1000 различных микросостояний. Если мы знаем, что в этот момент она находится в первом, мы можем быть уверены только в том, что в следующий момент она будет находиться в одном из других 999. Но если у нас есть система только из десяти состояний, мы знаем, что есть только девять возможностей, начиная с текущего момента, то есть такая система более предсказуема.