Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики | страница 42

Как мы увидим, существуют различные варианты распределения вероятностей, и каждый из них имеет место в каждом отдельном случае. В данном случае нас интересует, что происходит с дискретной переменной — это означает, что мы имеем дело с отдельными результатами, такими как орел или решка. Существует другой тип переменных, называемых непрерывными, под которыми подразумевается любая величина в некотором диапазоне: например от 0 до 10, включая любое число с произвольным количеством знаков после запятой.

Для наших рассуждений важно знать факториальную функцию. Факториал 3 обозначается 3! и вычисляется следующим образом:

3! = 3·2·1.

5! = 5·4·3·2·1.

Факториал п вычисляется следующим образом:

n! = n·(n — 1)·(n — 2)·…·2·1.

Теперь мы можем начать выводить формулу, которая даст нам вероятность получения некоторой последовательности орлов и решек при любом количестве бросков.

Для начала посмотрим, сколько возможных комбинаций выпадения орла и решки существует для n бросков. Для первого броска возможны два варианта: орел или решка. Для второго — еще два, что в сумме дает четыре. Для следующего броска у нас есть по две возможности для каждого предыдущего, что в сумме дает восемь. Итак, общее число возможностей для n бросков равно 2^>n, то есть два, умноженное само на себя n раз.

Далее нам нужно вычислить количество комбинаций, при которых можно получить k орлов при n бросков. Подставляя различные числа, можно выяснить, что количество комбинаций задано биномиальным коэффициентом, который определяется по следующей формуле с использованием факториальной функции:

Вероятность выпадения k сторон, следовательно, равна

разделенному на число комбинаций орлов и решек, которое, напомним, равно 2^>n. Поскольку в этом распределении вероятностей используется биномиальный коэффициент, оно известно как биномиальное распределение и может быть легко расширено на фальшивые монеты, где вероятность выпадения решки больше, чем орла, или наоборот.

Биномиальное распределение позволяет сделать прогнозы, которые, как кажется, противоречат здравому смыслу. Например, какова вероятность выпадения 50 орлов за 100 бросков? Применим нашу формулу, помня, что вероятность — это отношение к единице, а не к 100:

Этот результат может показаться удивительным, мы ведь ожидали 50 орлов на 100 бросков. Почему же вероятность получилась такой низкой? Ответ в том, что мы интересуемся вероятностью выпадения именно 50 орлов. Теперь найдем вероятность выпадения сорока девяти: