Иррациональность √2
Первое известное доказательство иррациональности квадратного корня из 2 принадлежит философу-досократику, представителю пифагорейской школы Гиппасу из Метапонта (род. ок. 500 г. до н. э.), который, создав это доказательство, не только проявил способности к математике, но и затронул тему, табуированную в его среде. Не будем забывать о легенде, согласно которой за всякое упоминание о существовании иррациональных чисел пифагорейцы карали смертью.
Как и в большинстве подобных доказательств, включая и приводимое в некоторых неканонических изданиях «Начал» Евклида, в доказательстве Гиппаса используется метод доведения до абсурда. На современном языке его доказательство звучит следующим образом.
Если √2 — рациональное число, это означает, что его можно представить как частное двух целых вида
√2 = p/q
Отметим, что эта дробь является несократимой, то есть ее числитель и знаменатель не имеют общих множителей. Возведя обе части равенства в квадрат, получим
2 = p>2/q>2
и, как следствие,
Р>2 = 2q>2.
Это означает, что р>2 четно, поэтому р также четно. Таким образом, р можно представить как число, кратное 2, то есть в виде р = 2n. Имеем
2q>2 = р>2 = (2n)>2 = 4n>2.
Упростив равенство, получим
q>2 = 2n>2.
Иными словами, q>2 четное, поэтому q также четное. Мы пришли к выводу, что и р, и q — четные числа, таким образом, числитель и знаменатель дроби p/q имеют общий множитель, что противоречит исходной гипотезе. Это означает, что √2 нельзя представить в виде частного двух целых.
Первые приближенные значения √2 содержали всего 4–5 знаков после запятой.
Достаточно точное значение, содержащее 65 знаков после запятой, записывается так:
√2 ~= 1,41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799.
С помощью современных компьютеров можно получить приближенное значение этого числа, содержащее несколько миллионов знаков после запятой.
Множества чисел
Определение различных множеств чисел сложно для понимания и требует знаний математики, выходящих за рамки этой книги. Существуют альтернативные определения, менее строгие, но более понятные, которые основываются на практическом применении множеств для решения уравнений. Отправной точкой являются так называемые натуральные числа. Множество натуральных чисел 1, 2, 3, … обозначается буквой
