* * *
Противоречивость бесконечности
Кронекер как-то сказал: «Бог создал первые десять чисел, все остальное создал человек», выразив тем самым, сколь велика заслуга математики. По его мнению, все в математике должно было строиться из известных, четко определенных элементов и за конечное число этапов. Иными словами, Кронекер не хотел ничего слышать об актуальной бесконечности. Как-то раз он заявил, что от бесконечности следует отказаться как от «…пагубной бессмыслицы, унаследованной от древней философии и запутанной теологии. Без нее мы можем достичь всего, чего захотим…»
Кронекер был явным последователем финитизма, а также операционизма, в котором не признаются никакие рассуждения, не подкрепленные четко определенными математическими операциями. Он заявил, очевидно, имея в виду труды Кантора, что математике необходим контроль со стороны признанных ученых, так как «богатый практический опыт решения полезных и интересных задач даст математике новый смысл и новый импульс. Однобокие и интроспективные умозрительные заключения не дают плодов».
Следует учитывать, что Кронекер был одним из редакторов журнала Крелле, поэтому неудивительно, что в 1877 году он отклонил все рукописи, переданные Кантором для публикации в этом журнале. Расхождение во взглядах переросло в личную неприязнь, и Кронекер публично назвал Кантора ренегатом, шарлатаном и совратителем учащейся молодежи. Не будем забывать, что Кантор был лучшим учеником Кронекера, естественно, что он очень болезненно переживал подобное отношение учителя и получил глубокую психологическую травму, от которой ему так и не удалось оправиться.
Дедекинд
Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд (1831–1916), который родился в Брауншвейге и был четвертым ребенком в зажиточной семье, большую часть жизни посвятил математическим исследованиям. Он был алгебраистом и стремился сформировать фундаментальную основу анализа, для чего в качестве базы выбрал множества и отображения множеств.
Вейерштрасс, Кантор и Дедекинд независимо друг от друга работали над определением вещественных чисел. Работы Кантора и Дедекинда стали классическими и вошли в учебники. Труды Кантора, в основе которых лежала теория множеств, были наиболее близки Дедекинду, особенно потому, что оба они работали над большой темой непрерывности пространства, носившей больше философский, нежели математический характер. И Кантор, и Дедекинд утверждали, что доказать непрерывность пространства абсолютно невозможно. Максимум, что можно сделать, — это принять гипотезу о непрерывности пространства в качестве постулата.
