Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике | страница 65
* * *
СВОБОДА МАТЕМАТИКИ
Можно сказать, что в настоящее время мечта Кантора о свободной математике полностью сбылась. По меньшей мере, никто и ничто (в так называемых цивилизованных странах) не ставит палки в колеса авторам математических теорий по философским или религиозным причинам. Сегодня в математике используются так называемые «большие кардиналы», которые столь велики, что рядом с ними трансфинитные числа Кантора кажутся карликами. Их определение очень сложно, хотя они строятся по правилам, схожим с теми, что применяются к алеф-числам: рассматривается последовательность множеств, включенных одно в другое, затем анализируются соответствующие множества их частей.
* * *
Кантор назвал алеф-нулем кардинальное число множества натуральных чисел |
В соответствии с этим
Однако числа алеф образуют возрастающую последовательность
Здесь Кантор сформулировал следующий вопрос: существует ли такой кардинал, который заключен между кардинальным числом множества натуральных чисел и континуумом? Каким-то образом ему удалось понять, что выполняется равенство
Иными словами, не существует множества, размер которого заключен между размером множества натуральных и вещественных чисел, — эта гипотеза называется континуум-гипотезой. Чтобы доказать ее, Кантору потребовалось приложить невероятные усилия. Не раз он считал, что континуум-гипотеза доказана, но ему так и не удалось сформулировать доказательство, которое его полностью устраивало бы.
Континуум-гипотезу безуспешно пытались доказать многие современники Кантора, в том числе Гильберт, Рассел и Цермело. Венгерский математик Денеш Кёниг (1849–1913) на конгрессе в Гейдельберге в 1904 году представил доказательство ложности континуум-гипотезы. Но Кантор верил своей интуиции и считал, что доказательство Кёнига не может быть истинным, хотя так и не смог найти в нем ошибку. Обнаружил ее Цермело, таким образом, вопрос доказательства континуум-гипотезы оставался открытым, и Гильберт включил его в свой знаменитый список из 23 наиболее важных нерешенных задач математики.
В 1963 году американский математик
