Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике | страница 44

и нечетными числами:

Несомненно, важнейшими работами Лейбница стали его труды по анализу бесконечно малых, положившие начало важнейшему разделу математики — математическому анализу. Неоценимую роль сыграли верно выбранные обозначения. Так, с помощью знаков d и 

введенных им для обозначения дифференциала и интеграла, стало возможным объединить множество разрозненных и неоднозначных математических понятий. Лейбниц не всегда действовал внимательно и аккуратно, из-за чего многие его результаты были ошибочными, сравнивал себя с тигром, который «позволяет уйти добыче, которую не смог схватить в первый, второй и третий прыжок».

Прыжком Лейбница был переход от дискретного к непрерывному. Комбинаторика, которой он владел в совершенстве, — это дискретный мир, но мир функций и кривых является не дискретным, а непрерывным, и именно при переходе от одного к другому проявился математический гений и смелость Лейбница, так как он смог преобразовать неделимые Кавальери в новую математическую сущность — бесконечно малые, для чего создал особые алгоритмы. Рассмотрим ключевой элемент созданного Лейбницем анализа бесконечно малых, изложенный в упрощенном виде на языке современной математики.

* * *

* * *

Нам известно, что прямая определяется двумя точками, но она также может определяться одной точкой и углом наклона. Например, прямые r_>1 и r_>2, проходящие через начало координат, определяются углами наклона α и β соответственно. Мы говорим об угле наклона не только применительно к математическому анализу, но и в повседневной жизни, например когда речь идет об угле наклона на участке автомагистрали.

* * *