Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике | страница 36
Определив таким образом уровень вина в бочке, трактирщик узнавал, сколько его осталось. Результатом размышлений Кеплера стал вышедший в 1615 году трактат под названием «Новая стереометрия винных бочек». Для решения задачи Кеплер использовал метод неделимых, разработанный Архимедом. Можно сказать, что из задачи об объеме бочки вина впоследствии родился анализ бесконечно малых. Тем не менее следует отметить, что труды Кеплера в этой области носили скорее практический, чем теоретический характер, и в этом смысле их можно считать отчасти неполными. Например, для вычисления площади круга он рассматривал сумму площадей бесконечного числа треугольников, вершины которых совпадали с центром круга, а основания располагались на окружности. Аналогично для вычисления объема сферы он рассчитывал сумму объемов конусов, вершины которых совпадали с центром сферы, а основания находились на ее поверхности. С помощью этого метода Кеплер пришел к выводу, что объем сферы равен одной трети произведения ее радиуса на площадь поверхности. Корректность всех этих операций Кеплер обосновывал принципом непрерывности, который при использовании его метода вычисления объемов следовало принять за истину.
* * *
БОЧКИ КЕПЛЕРА
Задача о бочках, рассмотренная Кеплером, принадлежит к классическим задачам, решаемым с помощью интегрального исчисления. Общим случаем этой задачи является вычисление объема жидкости, заключенной в сосуде определенной формы. Когда цистерна с бензином приезжает на автозаправку, оператор обычно опускает в нее длинный металлический стержень для измерения уровня жидкости в емкости. Очевидно, что отметки на этом стержне должны быть нанесены в зависимости от формы цистерны. Как правило, она имеет форму цилиндра, основания которого являются полусферами или параболоидами вращения. В некоторых аэропортах можно встретить цистерны такой же формы с керосином.
* * *
Галилео Галилей (1564–1642) совершил революцию во многих областях науки. Мы не будем рассказывать ни о его творчестве, ни о том, какое влияние оно оказало на науку в целом, — рассмотрим вкратце его размышления о бесконечности.
Во-первых, Галилей рассматривал движение как процесс, происходящий без пауз, то есть делал выбор в пользу непрерывного, а не дискретного, зная, что занимает рискованную позицию, так как это автоматически означало принятие перехода от потенциальной к актуальной бесконечности. Для этого задачи, связанные с движением, следует рассматривать с геометрической точки зрения. Графическое изображение движения с переменной скоростью может выглядеть, например, следующим образом.
