Эта тема интересует не только математиков, но и философов, при этом и математическая, и философская точка зрения на бесконечность должны быть согласованы между собой. Ведь, как сказал французский математик Жан-Шарль де Борда (1733–1799), «без математики нельзя глубоко проникнуть в суть философии, без философии нельзя глубоко проникнуть в суть математики, а без них обеих нельзя понять суть чего бы то ни было».
Глава 1
Что такое бесконечность
Понятие бесконечности — это неотъемлемая часть человеческой мысли. Весьма вероятно, что мы имеем некое врожденное неясное представление о бесконечности, которое постоянно сопоставляем с противоположным ему четким представлением о конечности, являющейся частью нашей природы. В философии и богословии размышления о бесконечности могут быть необязательными и ситуативными, но в математике ее исследование всегда было и остается насущной необходимостью.
Бесконечность в повседневной жизни
Известен анекдот о некоем преподавателе математики, которому нужно было в первый раз объяснить студентам, что такое бесконечность. Он взял коробку с мелками, достал один и начал рисовать прямую на доске. Дойдя до края доски, он продолжил вести линию по стене, затем по полу и, не останавливаясь, вышел из аудитории и исчез из вида в конце коридора, продолжая вести линию. Дивленные студенты ждали, что будет дальше. Спустя некоторое время прозвенел звонок к концу лекции.
Преподаватель исчез. Последним, кто его видел, был вахтер. Преподаватель шел по улице и, не отрывая мела от асфальта, по-прежнему чертил линию. Прошло три дня, и руководство университета решило найти преподавателю замену. Через несколько месяцев, к удивлению студентов, преподаватель вернулся. Он оброс бородой, за спиной у него был рюкзак, в руке он держал кусочек мела. Он вошел в класс, по-прежнему чертя на полу линию, дошел до доски и, наконец, остановился. Усталый преподаватель повернулся к студентам и сказал: «Эта линия невероятно велика, но она — ничто в сравнении с бесконечностью».
Неизвестно, какое решение приняло руководство университета — возможно, преподавателя поместили в лечебницу. Также неизвестно, поняли ли студенты, что такое бесконечность. Однако преподавателю удалось выразить одно: бесконечность неизбежно связана с чем-то исключительным и даже шокирующим.
Существует множество удивительных историй, цель которых — дать нам представление о бесконечности. В религиозном контексте бесконечность обычно связана с вечностью и вечными муками. Пытка может быть долгой, но рано или поздно она прекратится, адские муки, напротив, длятся целую вечность. Чтобы описать вечность, обычно приводилась аналогия с неким титаническим трудом — например, сбором песка на огромном пляже по одной песчинке каждые сто лет. Один из наиболее любопытных образов бесконечности таков: представьте, что Земля — это стальной шар, и один раз в миллион лет голубь слегка гладит его крылом. Когда шар сотрется и превратится в бесконечно малую точку, пройдет вечность. Все эти истории обычно рассказывают детям, чтобы дать им представление (увы, неизбежно пугающее) о том, сколь велика бесконечность.
