Эйнштейн. Теория относительности. Пространство – это вопрос времени | страница 53

РИС. 1

РИС. 2

РИС.3

Чтобы расширить рамки теории, Гаусс работал с более общими координатами, и и v, и установил, что квадрат расстояния между двумя точками, разделенными бесконечно малым расстоянием (u, v) и (u + du, v + dv) определяется по формуле:

где Е, F и G – функции координат.

Чтобы измерить длину, достаточно сложить по всей длине кривой все бесконечно малые расстояния ds² , заключенные между двумя ее крайними точками. Немец Бернхард Риман не удовлетворился исследованием поверхностей в двух измерениях и расширил вопрос, поставленный Гауссом, на любое их число. В этом случае

где n может быть любым натуральным числом.

Числа g являются функциями координат. Следовательно, квадрат расстояния между двумя ближайшими точками ds² увеличивается и уменьшается по мере того, как мы перемещаемся по поверхности и обнаруживаем ее неровности.

Если сделать формулировку Гаусса более общей, как предложил Риман, получим следующее:

n = 2          x_>1 =u   x_>2 =v

g_>12=g_>21=F  g_>11=E   g_>22=G

Совокупность функций g (метрик) отражает неровности рельефа. Их можно представить в виде квадратной матрицы из n² элементов:

Инварианты отражают объективные свойства пространства и не зависят от точки зрения, выбранной для описания поверхности. Это свойство предлагало вторую аналогию, очень заманчивую для Эйнштейна, который задавался вопросом: возможно ли, что принцип относительности продолжает действовать для систем, которые обладают ускорением одна по отношению к другой? Иными словами, если принцип выполняется в системах с постоянной скоростью, будет ли он выполняться в системах с переменной скоростью? Вспомним, что один из постулатов специальной теории относительности звучит так: «Любое физическое явление протекает одинаково во всех инерциальных системах отсчета». Этот постулат кажется связанным со следующим геометрическим принципом: «Инварианты, такие как расстояние и кривизна, одинаковы в любой системе координат». Этот параллелизм позволил Эйнштейну подойти очень близко к границе физики и геометрии.

Немецкий математик Герман Минковский (1864-1909) подготовил почву для того, чтобы выразить идеи Эйнштейна на языке Гаусса. Он предложил четырехмерное псевдоевклидово пространство в качестве геометрической интерпретации пространства-времени специальной теории относительности. Минковский сделал не лишенное театральности заявление: «Отныне пространство и время по отдельности отступают на второй план, и лишь их единый континуум будет рассматриваться как независимая реальность». Аналогичную операцию он провел и с тремя пространственными координатами – шириной, глубиной и высотой.