Эйнштейн. Теория относительности. Пространство – это вопрос времени | страница 52

В качестве примера рассмотрим положение двух людей на рисунке со следующей страницы. Оба двигаются от точки А к точке В, расположенной неподалеку. Первый человек идет по прямой линии на плоском участке, а второй движется в углублении. Чтобы дойти от А до В, второй человек должен пройти больше, чем первый, из-за геометрической кривизны участка (рисунок 10). И для каждого из них расстояние от А до В будет разным.

РИС. 10

РИС. 11

РИС. 12

Гаусс ввел новую математическую функцию, метрику (она обозначается буквой g), которая показывает расстояние до точки поверхности в зависимости от того, в каком направлении мы движемся. Как вы уже понимаете, на неровной поверхности эта информация от точки к точке меняется.

Метрику можно считать руководством по устройству поверхности, поскольку она содержит все интересующие нас данные. Когда рассматриваешь пространство из более высокого измерения, его неровности становятся заметны невооруженным взглядом, а метрическая функция позволяет нам оценить их, находясь непосредственно на поверхности.

Геометрические свойства поверхности должны быть независимы от системы координат, выбранной для ее описания, – так же, как в новостях, на какой бы язык мы их ни перевели, речь должна идти об одном и том же. Расстояние между двумя точками – это информация, которая не меняется с «переводом», то есть с изменением координат. Точки 1 и 2 находятся на разных расстояниях от точек А и В, но расстояние между ними самими не меняется, то есть, на языке алгебры, расстояние является инвариантом (рисунок 11). С помощью метрической функции возможно определить расстояние между любыми двумя точками на поверхности. Также она позволяет построить другие инварианты, например кривизну, то есть величину, выражающую, насколько отклоняется поверхность от евклидовой плоскости (рисунок 12).

Чтобы построить метрическую функцию, Гаусс начал с расстояния между любыми двумя ближайшими точками на поверхности, координаты которых различались бы ничтожно мало. Самое элементарное понятие расстояния можно получить из теоремы Пифагора (рисунок 1). Чтобы указать, что мы можем произвольно уменьшить расстояние между точками (х_>1; у_>1) и (х_>2 ;у_>2 ), изменим обозначение Δх (измеряемая величина) на dх (дифференциальная величина) (рисунок 2). Это обозначение перестает работать, когда координаты больше не указывают на две перпендикулярные оси, х и у, либо если мы находимся на искривленной поверхности, например на поверхности шара (рисунок 3).