Математики, шпионы и хакеры. Кодирование и криптография | страница 39
Шифровальщики навахо
Хотя Соединенные Штаты умело использовали информацию, перехваченную у противника во время военных действий на Тихом океане, американские военные для собственной связи применяли несколько шифров, по сути похожих на те, о которых говорилось в начале книги. Алгоритмы шифрования были основаны непосредственно на природе слов. Эти шифры — чокто, команче, месквоки и прежде всего навахо — не были четко описаны в сложных руководствах и не были результатом работы отделов криптографии: это были просто подлинные языки индейцев.
Армия Соединенных Штатов включала радистов из этих племен в отделы шифровальщиков на фронте, чтобы они передавали сообщения на своих языках, на которых не говорили не только японцы, но и другие американские военные. Эти сообщения дополнительно шифровались простыми кодами, чтобы захваченные в плен солдаты не смогли их перевести. Такие радисты служили в американских отделах вплоть до Корейской войны.
Два шифровальщика навахо во время битвы за Бугенвиль в 1943 г.
Шифры, обсуждавшиеся прежде, в которых один символ заменялся другим по некоторому заранее установленному правилу, как мы уже видели, всегда уязвимы для криптоанализа.
В 1929 г. американский математик Лестер Хилл придумал, запатентовал и выставил на продажу — правда, без особого успеха — новую систему шифрования, в которой использовались и модульная арифметика, и линейная алгебра.
Как мы увидим ниже, матрицы являются очень полезным инструментом для шифрования сообщений, когда текст разбивается на пары букв и каждой букве ставится в соответствие числовое значение.
Чтобы зашифровать сообщение, мы будем использовать следующие матрицы:
с определителем, равным единице, то есть ad — Ьс = 1. Для расшифровки мы будем использовать обратную матрицу:
* * *
НЕМНОГО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Матрица может быть определена как таблица, представляющая собой совокупность строк и столбцов. Например, матрица 2x2 имеет вид:
а матрица 2x1 записывается как:
Произведение этих двух матриц дает нам новую матрицу 2x1, называемую вектор-столбцом:
В случае матрицы 2x2 число (аd — Ьс) называется определителем матрицы.
* * *
Ограничение на значение определителя установлено для того, чтобы обратная матрица работала как инструмент расшифровки. Как правило, для алфавита из n символов необходимо, чтобы НОД определителя матрицы и числа n равнялся единице. Иначе нельзя гарантировать существование обратного элемента в модульной арифметике.
