)», гёделевский номер которой, равный числу 2
>8 × 3
>11^2 × 5
>2 × 7
>11^2 × 11
>9, обозначим через
b. Сформулируем теперь метаматематическое утверждение, гласящее, что формула «(
p ˅ p)» есть начальная «подформула» (т. е. часть формулы, сама также являющаяся формулой) выбранной аксиомы. Какой арифметической формуле рассматриваемой формальной системы соответствует это утверждение? Очевидно, что более короткая формула «(
p ˅ p)» является начальной подформулой более длинной формулы «(
p ˅ p) ﬤ
p» в том и только в том случае, если (гёделевский) номер
b, соответствующий первой из этих формул, есть делитель (гёделевского) номера
a, соответствующего второй формуле. В предположении, что термин «делитель» определен некоторым подходящим образом в формализованной арифметической системе арифметической формулой, однозначным образом соответствующей упомянутому выше метаматематическому утверждению о том, что первая аксиома начинается с подформулы «(
p ˅ p)», является формула «
b есть делитель
a». Более того, если эта последняя формула истинна, т. е. если b действительно является делителем a, то верно и то, что «(
p ˅ p)» есть начальная подформула формулы «(
p ˅ p) ﬤ
p».
Рассмотрим теперь повнимательнее следующее метаматематическое высказывание: «Последовательность формул, имеющая гёделевский номер x, является доказательством формулы, имеющей гёделевский номер z». Высказывание кодируется (изображается) посредством некоторой вполне определенной формулы арифметического исчисления, выражающей некоторое чисто арифметическое отношение между числами x и z. (Некоторое представление о том, насколько сложным является такое отношение, читатель получит, вспомнив приводившийся выше пример, в котором конец доказательства (а не все доказательство!) некоторой формулы, имеющей гёделевский номер, n, получал гёделевский номер k = 2>m × 3>n. Самый беглый анализ приводит нас к выводу, что здесь вводится вполне определенное, хотя и далеко не простое, арифметическое отношение между k (будем для простоты считать его номером всего доказательства) и n — гёделевским номером заключения этого доказательства.) Мы будем записывать отношение между числами x и z посредством формулы «Dem(x, z)»[15] напоминающей нам самим своим обликом о том метаматематическом утверждении, которому она соответствует (а именно, об утверждении «Последовательность формул, имеющая гёделевский номер x, является доказательством формулы, имеющей гёделевский номер
