7.2. Арифметизация метаматематики
Следующим шагом, который проделал Гёдель, было чрезвычайно остроумное применение описанного выше «кодирования» («гёделевской нумерации»). Он показал, что все метаматематические высказывания о структурных свойствах выражений, входящих в рассматриваемое исчисление, можно изобразить (причем взаимно-однозначным образом) в самом этом исчислении. В основе этой процедуры лежит следующая идея. Поскольку каждому выражению нашего исчисления приписан некоторый (гёделевский) номер, то каждое метаматематическое высказывание о выражениях исчисления и отношениях, имеющих место между ними, можно рассматривать и как высказывание о соответствующих (гёделевских) номерах и отношениях между ними. Таким путем метаматематика оказывается полностью «арифметизированной».
Рассмотрим такой популярный пример. При входе в большие универсальные магазины покупателям иногда выдают билетики с номерами, определяющими порядок дальнейшего обслуживания покупателей. Достаточно бывает посмотреть на эти номера, чтобы ответить на вопросы, сколько покупателей уже обслужено, сколько ожидает своей очереди, кто за кем стоит, сколько всего покупателей было с утра в магазине и т. п. Если, скажем, миссис Смит имеет номер 37, а миссис Браун — номер 53, то вместо того чтобы объяснить миссис Браун, что она должна пропустить вперед миссис Смит, достаточно обратить ее внимание на то, что 37 меньше, чем 53.
В метаматематике дело обстоит в точности, как в этом магазине. Каждое метаматематическое высказывание кодируется теперь вполне однозначным образом посредством некоторой арифметической формулы; отношения же, имеющие место между метаматематическими высказываниями, и логические зависимости между ними также однозначно переводятся в некоторые числовые соотношения и зависимости между соответствующими арифметическими формулами. И здесь, как и раньше, числовое кодирование облегчает рассмотрение всех достаточно сложных соотношений. Изучение метаматематических вопросов сводится к исследованию арифметических соотношений и свойств некоторых чисел.
Проиллюстрируем все эти общие замечания одним элементарным примером. Возьмем первую аксиому исчисления высказываний, являющуюся, кстати, аксиомой и рассматриваемого сейчас логико-арифметического исчисления: «(p ˅ p) ﬤ p». Ее гёделевский номер, равный, как легко убедиться, числу 2>8 × 3>11 × 5>2 × 7>11>^>2 × 11>9 × 13>8 × 17>11 мы обозначим буквой а. Рассмотрим теперь формулу «(
