Такая проверка приводит к выводу, что каждая из четырех аксиом является тавтологией. Процедура такой проверки сводится к составлению таблицы, в которой учитываются все возможные варианты соотнесения элементарных компонент данной аксиомы к любому из двух классов, K>1 и K>2. Просматривая последовательно строки такой таблицы, мы можем определить для каждого из возможных распределений «значений» (т. е. принадлежности классам K>1 и K>2) элементарных формул (т. е. попросту переменных), какому из классов принадлежит каждая неэлементарная «подформула» данной формулы и вся рассматриваемая формула в целом. Возьмем, например, первую аксиому. Таблица для нее состоит из трех столбцов: первый из них соответствует единственной ее элементарной компоненте «p», второй — неэлементарной подформуле «(p ˅ p)», а третий — всей формуле «(p ˅ p) ﬤ p». В каждом из столбцов указаны классы, которым принадлежат соответствующие формулы при данных распределениях значений переменных по этим классам. Вот как выглядит таблица для первой аксиомы:
p p˅p (p˅p)ﬤp
K>1 K>1 K>1
K>2 K>2 K>1
В первом столбце таблицы приведены возможные значения единственной элементарной компоненты рассматриваемой аксиомы, во втором — соответствующие значения неэлементарной компоненты аксиомы (согласно условию (1), в третьем — значения самой аксиомы (согласно условию (2)). Из последнего столбца сразу видно, что первая аксиома принадлежит классу K>1 всегда, независимо от того, к какому классу отнесена ее элементарная компонента. Значит, первая аксиома является тавтологией.
А вот такая же таблица для второй аксиомы:
p q p˅q рﬤ(р˅q)
K>1 K>1 K>1 K>1
K>1 K>2 K>1 K>1
K>2 K>1 K>1 K>1
K>2 K>2 K>2 K>1
В первых двух столбцах таблицы указаны все возможные распределения двух элементарных компонент аксиомы по двум классам, в третьем — соответствующие значения ее неэлементарной компоненты (согласно условию (1)), в четвертом — значения самой аксиомы. И здесь из рассмотрения последнего столбца таблицы сразу видно, что аксиома является тавтологией. Точно так же устанавливается тавтологичность остальных двух аксиом.
Докажем теперь, что свойство «быть тавтологией» наследственно относительно применений правила modus ponens. (Доказательство его наследственности относительно правила подстановки предоставляется читателю.) Пусть формулы S>1 и S>1 ﬤ S>2 — тавтологии; нам надо доказать, что тогда и формула S>2 есть тавтология. Допустим, что S>2 не является тавтологией. В таком случае для хотя бы одного распределения элементарных компонент этой формулы по классам
