В качестве такого свойства годится, например, свойство «быть тавтологией». Вы знаете, что так обычно именуют утверждения, дважды повторяющие внешне различным образом одну и ту же мысль и не несущие поэтому фактически никакой информации. Например, «раз Джон есть отец Чарлза, то Чарлз — сын Джона». В обобщение этого свойства «неинформативности» в логике тавтологиями принято называть утверждения, которые не могут не быть истинными. Примером может служить высказывание: «дождь идет или дождь не идет». Говорят также, что тавтологии — «истины во всех возможных мирах», или, еще по-другому, что это необходимо (или логически) истинные высказывания.
Но для того чтобы наше доказательство непротиворечивости было не относительным, а абсолютным, нам придется дать такое определение понятия тавтологии, которое не зависело бы непосредственно от понятия истины (в свою очередь, подразумевающего некоторую интерпретацию), а было бы дано в чисто формальных, структурных терминах.
Напомним, что формула нашего исчисления — либо просто одна из букв, используемых в нем в качестве пропозициональных переменных (назовем такие формулы «элементарными»), либо же составлена из таких букв с помощью пропозициональных связок и скобок. Условимся отнести каждую элементарную формулу в один из двух непересекающихся классов, в сумме дающих все множество формул исчисления — K>1 или K>2. Формулы, не являющиеся элементарными, относятся к тому или иному из этих классов в силу следующих соглашений:
1) формула, имеющая вид S>1 ˅ S>2, принадлежит классу K>2, если как S>1, так и S>2 принадлежат K>2; в противном случае она принадлежит K>1;
2) формула, имеющая вид S>1 ﬤ S>2, принадлежит классу K>2, если S>1 принадлежит K>1, a S>2 принадлежит K>2; в противном случае она принадлежит K>1;
3) формула, имеющая вид S>1 · S>2, принадлежит классу K>1, если как S>1, так и S>2 принадлежат K>1; в противном случае она принадлежит K>2;
4) формула, имеющая вид ~ S, принадлежит классу K>2, если S принадлежит K>1; в противном случае она принадлежит K>1.
Теперь мы определяем свойство «быть тавтологией»: формула есть тавтология тогда и только тогда, когда она принадлежит классу K>1 независимо от того, какому из классов K>1 и K>2 принадлежит любая из входящих в нее элементарных формул (т. е. переменных). Ясно, что это определение не использует никакой модели или интерпретации нашей системы. Мы можем установить, является ли какая-либо данная формула тавтологией, просто исследуя ее строение с точки зрения выполнения приведенных выше четырех условий.
