И вот очередной юбилей: сто лет назад Пуанкаре и Гильберт сделали на первых между народных конгрессах два доклада о развитии математики. Оба лидера старались угадать судьбу своей науки в грядущем веке и в меру сил повлиять на развитие международного ученого сообщества. Прошло сто лет: что сбылось, что удалось, что не состоялось? Есть ли смысл делать такие прогнозы впредь? Если да, то почему их не сделал раньше Ньютон или Гaycc? Не потому ли, что сообщество ученых изменяется за один век столь же радикально, как персоны его лидеров?
Например, Ньютон работал в одиночку: он предпочитал диалог с природой беседам с коллегами. Понятно, что он был плохой лектор, хотя очень внимательный слушатель и читатель. Ведь даже зеленый мальчишка или выживающий из ума старик может нечаянно высказать такую мысль, которая заиграет в полную мощь в руках мастера! Именно таким мастерам прядущих поколений Ньютон адресовал скупые намеки и вопросы об основах физики, рассеянные в предисловиях к его книгам. Как передается тяготение от тела к телу? Из каких частиц состоит свет, и почему не удается опровергнуть гипотезу Гюйгенса, будто свет состоит из волн? Какие математические принципы регулируют симметрию природных тел? Все это – новые аксиомы старой физики, которые Ньютону не удалось угадать.
Напротив – вопрос о новых аксиомах и определениях МАТЕМАТИКИ Ньютона совсем не заботил. Зачем строго определять понятия «флюксии» и «флюенты», если и без того ясно, как с ними работать? Если каждую полезную функцию можно изобразить графиком и разложить в степенной ряд, то стоит ли размышлять о том, ПОЧЕМУ это удается? Мир полон увлекательных задач, поставленных Богом или природой; сначала надо их решить, а потом станет ясно, почему они поддаются решению!
Сто лет спустя Гаусс был бы рад рассуждать о науке столь же беспечно и уверенно. Но увы – это не получалось. Удачная попытка построить правильный 17-угольник с помощью комплексных чисел привела к удивительному открытию: НЕВОЗМОЖНО построить правильный 7- или 9-угольник! Значит, в математике есть свои неразрешимые проблемы – вроде вечного двигателя в физике! Доказать их неразрешимость удается, лишь вводя строгие определения удачно выбранных понятий. Таковы в физике сила, энергия и импульс, а в математике – поле и кольцо, группа и векторное пространство.
После осмысления этих вещей выполнимость или невыполнимость многих построений циркулем и линейкой стала простым следствием из делимости размерностей числовых полей; неразрешимость в радикалах уравнений пятой степени следует из отсутствия нормальных подгрупп в группе перестановок длины 5. Напротив – недоказуемость евклидова постулата о параллельных прямых не потребовала новых понятий или определений. Зато понадобились два примера необычно изогнутых поверхностей: сфера и псевдосфера.
