Квантовая механика II | страница 14

Самое общее решение уравнения (11.6) представляло бы собой сочетание волны вперед и волны назад:

Это решение представляет комплексную волну с амплитудой а, бегущую в направлении +х, и волну с амплитудой b, бегущую в направлении -х.

Теперь бросим взгляд на систему уравнений нашей новой задачи: на (11.28) плюс такие же уравнения для остальных атомов. Уравнения, куда входят а_>n с nЈ-1, решаются форму­лой (11.29) при условии, что k оказывается связанным с Е и постоянной решетки b соотношением

E=E_>0-2Acoskb. (11.30)

Физический смысл этого таков: «падающая» волна с амплитудой a приближается к атому «нуль» (или «рассеивателю») слева, а «рассеянная» или «отраженная» волна с амплитудой b бежит обратно, т. е. налево. Не теряя общности, можно положить амплитуду a падающей волны равной единице. Тогда ампли­туда b будет, вообще говоря, комплексным числом.

То же самое можно сказать и о решениях а_>nпри nі1. Коэф­фициенты могут стать иными, так что следовало бы писать

Здесь g — амплитуда волны, бегущей направо, а d — амплитуда волны, приходящей справа. Мы хотим рассмотреть такой физический случай, когда вначале волна бежит только слева, и за рассеивателем (или атомом загрязнения) имеется только «прошедшая» волна. Будем поэтому искать решение, в котором d=0. Стало быть, мы попытаемся удовлетворить всем уравне­ниям для а_>n, кроме средней тройки в (11.28), с помощью сле­дующих пробных решений:

Положение, о котором идет речь, иллюстрируется фиг. 11.6.

Фиг. 11.6. Волны в одномерной решетке а одним «примесным» атомом в n=0.

Используя формулы (11.32) для а_>-1и а_>+1, можно из сред­ней тройки уравнений (11.28) найти а_>0 и два коэффициента b и g. Таким образом, мы найдем полное решение. Надо решить три уравнения (полагая x_>n=nb):

Вспомните, что (11.30) выражает E через k. Подставьте это значение Е в уравнения и учтите, что

тогда из первого уравнения получится

a_>0=1+b, (11.34)

а из третьего

a_>0=g, (11.35)

что согласуется друг с другом только тогда, когда

g=1+b. (11.36)

Это уравнение сообщает нам, что прошедшая волна (g) — это просто исходная падающая волна (1) плюс добавочная волна (b), равная отраженной. Это не всегда так, но при рассеянии на одном только атоме оказывается, что это так. Если бы у вас была целая группа атомов примеси, то величина, добавляемая к волне, бегущей вперед, не обязательно вышла бы такой же, как у отраженной волны.