Физика сплошных сред | страница 71

момента коли­чества движения J, другими словами, J·J. И вот оказывается, что правильную квантовомеханическую формулу можно уга­дать с помощью классических вычислений и следующего прос­того правила: замените J^>2 = J·J на j(j+1)h^>2. Этим прави­лом часто пользуются, и обычно оно дает верный результат, однако не всегда. Чтобы показать вам, почему это правило может хорошо работать, я приведу следующее рассуждение.

Скалярное произведение J·J можно записать как

J·J=J^>2_>x+J^>2_>y+J^>2_>z

Поскольку это скаляр, то он должен оставаться одним и тем же для любой ориентации спина. Предположим, что мы случай­но выбрали образец какой-либо атомной системы и произвели измерения либо величины J^>2_>x, либо J^>2_>y, либо J^>2_>z — среднее

значение любой из них должно быть тем же самым. (Ни одно из направлений не имеет особого преимущества перед любым другим.) Следовательно, среднее значение J·J равно просто утроенной средней величине любой компоненты, скажем J^>2_>z :

·J>_>cp=3^>2_>z>.

Но поскольку J·J при любой ориентации одно и то же, его среднее, разумеется, будет постоянной величиной

J·J = 3>2_>z>_>cp. (34.24)

Если же мы теперь скажем, что то же самое уравнение будет использоваться и в квантовой механике, то можем легко найти >2_>z>_>ср. Нам просто нужно взять сумму (2j+1) возможных значений J^>2_>zи поделить ее на число всех значений:

Вот что получается для системы со спином ^>3/_>2:

Отсюда мы заключаем, что

На вашу долю остается доказать, что соотношение (34.25) вместе с (34.24) дает в результате

Хотя в рамках классической физики мы бы думали, что наи­большее возможное значение z-компоненты J равно просто абсолютной величине J, именно Ц(J·J), в квантовой механике максимальное значение J_>zвсегда немного меньше его, ибо jh всегда меньше Ц[j(j+1)]h. Момент количества движения ни­когда не направлен «полностью вдоль оси z».

§ 8. Магнитная энергия атомов

Теперь я снова хочу поговорить о магнитном моменте. Я уже говорил, что в квантовой механике магнитный момент атомной системы может быть связан с моментом количества движения соотношением (34.6):

где -q_>e—заряд, а m — масса электрона.

Атомные магнитики, будучи помещены во внешнее магнит­ное поле, приобретут дополнительную магнитную энергию, которая зависит от компоненты их магнитного момента в на­правлении поля. Мы знаем, что

U_>маг=-m·В. (34.28) Выбирая ось z вдоль направления поля В, получаем

U_>маг=m_>zВ. (34.29) А используя уравнение (34.27), находим

Согласно квантовой механике, величина J_>zможет принимать только такие значения: jh, (j-1)h,...,- jh. Поэтому магнитная энергия атомной системы не произвольна, допустимы только некоторые ее значения. Например, максимальная величина энергии равна