Физика сплошных сред | страница 22

Умножая это уравнение на m/2, суммируя по всем частицам и сравнивая с уравнением (31.17), мы видим, что I_>xx, напри­мер, равно

Это и есть та формула для момента инерции тела относительно оси х, которую мы получали уже раньше (гл. 19, вып. 2).

Ну а поскольку r^>2=x^>2+y^>2+z^>2, то эту же формулу можно написать в виде

I_>xx=Sm(r^>2-x^>2). Выписав остальные члены тензора инерции, получим

Если хотите, его можно записать в «тензорных обозначе­ниях»:

где через r_>i обозначены компоненты (х, у, z) вектора положе­ния частицы, а 2 означает суммирование по всем частицам. Таким образом, момент инерции есть тензор второго ранга, элементы которого определяются свойствами тела и который связывает момент количества движения L с угловой ско­ростью w:

Для любого тела независимо от его формы можно найти эл­липсоид энергии, а следовательно, и три главные оси. Относи­тельно этих осей тензор будет диагональным, так что для лю­бого объекта всегда есть три ортогональные оси, для которых момент количества движения и угловая скорость параллельны друг другу. Они называются главными осями инерции.

§ 5. Векторное произведение

Сами того не подозревая, вы пользуетесь тензором второго ранга уже начиная с гл. 20 (вып. 2). В самом деле, мы опреде­лили там «момент силы, действующий в плоскости», например t_>xy, следующим образом:

t_>xy=xF_>y-yF_>x.

Обобщая это определение на три измерения, можно написать

t_>ij=r_>iF_>j-r_>jF_>i. (31.22)

Как видите, величина t_>ij — это тензор второго ранга. Один из способов убедиться в этом — свернуть t_>ij с каким-то век­тором, скажем с единичным вектором е, т. е. составить

Если эта величина окажется вектором, то t_>ijдолжен преобра­зовываться как тензор — это просто наше определение тензора. Подставляя выражение для t_>ij, получаем

Поскольку скалярные произведения, естественно, являются скалярами, то оба слагаемых в правой части — векторы, как и их разность. Так что t_>ij-— действительно тензор.

Однако t_>ijпринадлежит к особому сорту тензоров, он антисимметричен, т. е.

t_>ij=-t_>ji.

Поэтому у такого тензора есть только три разные и неравные нулю компоненты: t_>xy, t_>yz и t_>zz. В гл. 20 (вып. 2) нам удалось показать, что эти три члена почти «по счастливой случайности» преобразуются подобно трем компонентам вектора; поэтому мы могли тогда определить вектор

t=(t_>x,. t_>y, t_>z) = (t_>yz, t_>zx, t_>xy).

Я сказал «по случайности» потому, что это происходит только в трехмерном пространстве. Например, для четырех измерений антисимметричный тензор второго ранга имеет